Brauche Hilfe bei der Berechnung der Extremstellen bei Funktionenscharen?

Question

Hi. Ich hoffe irgendein Mathegenie kann es mir verständlich erklären. :)
In der Schule haben wir es noch nicht durchgenommen. Wir haben erstmal nur die Nullstellen vorgerechnet. Damit komme ich noch klar. Unsere nächste Hausaufgabe ist es die Extremstellen und die Wendestellen zu errechnen. Aber mir reicht im Moment erstmal, die Extremstellen zu verstehen und wie ich so genau mit dem Parameter umzugehen hab.

So, die Funktion lautet: fa(x)= x^4 - a^2 * x^2

Als gute Schülerin macht man ja zuerst die Ableitungen.
f'a(x)= 4x^3 - 2 * a^2 *x
f''a(x)= 12x² - 2* a^2
f'''a(x)= 24x

So. Nach meinem Mathe Schema würde ich schon zum Taschenrechner greifen aber da es ja leider nicht geht, wird es jetzt glaube ich, sehr peinlich und auch mein Problem kommt weil ich einfach nicht so recht weiß wie ich auflösen soll mit dem Parameter. Okay...

1. Ableitung 0 setzen

0= 4x^3 - 2 * a^2 *x

Substitution (es gibt bestimmt 100 andere Wege, die noch einfacher sind xD)

x^2 = z

0= 4z - 2 * a^2 * x

Bei dem x was da alleine steht, bin ich mir nicht sicher weil es ja kein ganzes z ist, habe ich jetzt ein halbes gemacht. (?!)

0= 4z - 2 * a^2 * 0,5z 

Mein nächster Schritt wäre noch einmal durch 4 zu rechnen um auf ein z zukommen. (Ist das überhaupt nötig?)

//Off Stimme// Ich denk jetzt schon, dass es falsch ist. :D 

0 = z - 0,5 * a^2 * 0,5/4z

So, um das Falsche noch falscher zu machen. Jetzt noch die pq Formel anwenden oder es endlich in den Taschenrechner geben zukönnen und die Katastrophe ist perfekt. Ich krieg da was von -0,116614... raus. xD

Mir kann keiner Vorwerfen, dass ich mir nicht Mühe gegeben habe. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand sagt wo ich was falsch gemacht habe und wie ich es machen soll. Ich erwarte nicht, dass mir es jemand vorrechnet (aber nett wär es ;) ). 

Danke schonmal im Vorraus. :)

Mr P · Accepted Answer

Hey :)

Okay also deine Ableitungen sind wenigstens schonmal richtig, sehr gut. ;)

Einen Parameter musst du quasi auch wie eine Konstante, wie eine Zahl behandeln. Bei der Ableitung hast du sie wegfallen lassen, dann müüüsstest du eeeigentlich das Ganze doch schon durchblickt haben? ^^ Die Substitution ist falsch, wenn du x�� hast, dann hast du x*x*x (Potenzgesetz, das ist ja quasi x^1*x^1*x^1). Wenn Du dann x²=z setzt, geht dein Versuch nicht auf ;)

Ich machs mal wie ich es gelernt habe, wenn dir etwas nicht bekannt ist frag einfach!

Hinreichende Bedingungen für relative Extrema: fa'(xE)=0 ^ fa''(xE)!=0

i) fa'(xE)=0

-> 4xE³-2a²xE = 0

<=> xE ( 4xE²-2a²) = 0

Ein Produkt ist =0 wenn einer der Faktoren 0 ist (weil 0 mal irgendwas ist immer 0).

-> xE = 0 \/ 4xE²-2a²=0 | + 2a² damit man es rüber bringt (nur der rechte Term)

<=>4xE² = 2a² | :4

<=> xE² = 0.5a² | raddizieren, hier muss man aufpassen, du musst - als auch + bedenken bei 0.5a²!

<=> xE1 = W[0.5a] \/ xE2 = W[-0.5a] (Das "W[]" steht für "Wurzel aus []")

Da du keine Wurzel aus einer negativen Zahl (-0.5a) ziehen kannst, fällt diese Option weg. also bleiben 2 mögliche X-Koordinaten für Extremstellen übrig, nämlich 0 und Wurzel aus 0.5a.

Weißt du wie es weiter geht und warum es weiter geht? Nicht das ich gleich ungefragt alles hier mache :D

qm_sirius · Answer

Wenn Du xÂ² = z substituierst, lautet die neue Gleichung:

4*z*âz - 2*aÂ²*âz = 0

Bringt Dir also gar nichts!

Rechne einfach, wie Du es kennst:

0= 4xÂ³ - 2 * aÂ² *x
0 = x (4xÂ² - 2a)  

Entweder x = 0 oder 4xÂ² - 2a = 0

xÂ² - 1/2a = 0
xÂ² = a/2

x1 = â(a/2) , x2 = -â(a/2)

Du siehst, daÃ die Wurzel >=0 sein muÃ, also a >=0. Ansonsten gibt es keine Extremstelle

Und fÃ¼r die anderen Aufgaben geht es genauso

Wurzelgnom · Answer

f_a (x)= x^4 - aÂ² xÂ²
f_a (x) = xÂ²(xÂ² - aÂ²)
f_a (x) = xÂ²(x + a)(x - a)

ZunÃ¤chst sehen wir, dass es sich um eine Funktion 4. Grades handelt.
Es ist eine gerade Funktion mit lim (x -> +/- oo) = oo
Ihren Durchgang durch die y-Achse hat sie bei (0|0).
Hier liegt auch das lokale Maximum.
Sie hat zwei weitere Nullstellen, bei x = a und x = - a.
Das sind (fÃ¼r a ungleich 0) einfache Nullstellen, bei denen der Graf der Funktion die x-Achse schneidet, wÃ¤hrend er ihn in x = 0 von unten berÃ¼hrt.

Damit muss die Funktion in zwei Stellen zwischen - a und 0 bzw. 0 und a ihr (globales Minimum annehmen.

f_a(x) = x^4 - aÂ²xÂ²
f '_a(x) = 4xÂ³ - 2aÂ²x = 2x(2xÂ² - aÂ²)

Die 1. Ableitung verschwindet natÃ¼rlich an der doppelten Nullstelle x = 0 und fÃ¼r
2xÂ² - aÂ² = 0, also
xÂ² = 1/2 aÂ²
|x| = 1/2 â 2 * |a|
Also liegt ein Minimum bei 1/2 â2 * |a| und das andere bei - 1/2 â2 * |a|

(Dabei kann a auch negativ sein. FÃ¼r a > 0 kann man die Betragstriche weglassen)

@qm_sirius
Du hast hier das Quadrat bei aÂ² verloren:
"0= 4xÂ³ - 2 * aÂ² *x
0 = x (4xÂ² - 2a)"

Brauche Hilfe bei der Berechnung der Extremstellen bei Funktionenscharen?

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