mietvertrag erst unterschreiben?

hallo eine frage

ich bekomme erwerbsunfäigkeitsrente,die sehr klein is und dadurch bekomme ich noch grundsicherrung,also das amt zahlt die miete u die heizkosten.

nun möchte ich von einer stadt in die andere umziehen,habe das ok das ich es darf.

nun sagte man mir ich soll erstmal ein personenbezogenes angebot von einer wohnung beim amt einreichen,dann antrag stellen auf grundsicherung in der neuen stadt,aber ich hab jetzt nur noch zeit bis 1.9.eine wohnung zu finden da meine gekündigt is und nich verlängerbar is,ich musste ja vor 3 monaten künbdigenda das amt meinte sie zahlen keine doppelmieten

nun ises sehr schwer eine wohnung zu finden,weoil wohnungsmangel herscht und imer 60 leute auf eine wohnung kommen.

nun meine frage

was kann passieren wenn ich erst nen mietvertrag unterschreib u es dann beim amt einreiche?

da das amt meinte die brauchen länger wie 2 wochen um alles zu bearbeiten u dann könnte ich erst unterschreiben,aber so lange wartet kein vermieter u ich kann auch nicht warten weil ich sonst auf der strasse sitze

kann ich erst den mietvertrag unterschreiben und dann alles beim amt einreichen?