komplexe zahlen? Hilfeee?

Hallo Mario!

Sollst Du wirklich die komplexen Wurzeln aus f(z) = z^5: i ziehen?

z^5 geteilt durch i ? Ist das richtig?

z^5 / i = 0

Antwort : z = 0

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+z^5+%2F...

Das ist nicht Dein Ernst, oder?

Ich denke vielmehr, dass Du (z^5 - i) lösen sollst, oder?

(z^5 - i) = 0

<=> z^5 = i <---- also, eigentlich so, oder?

Das würde für mich jedenfalls Sinn machen und Du erhälst auch die 5 fünften komplexen Wurzeln

1. z = i

2. z = (-1)^(1/10) <---- 10.-te Wurzel aus - 1

3. z = -(-1)^(3/10)

4. z = -(-1)^(7/10)

5. z = (-1)^(9/10)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+z^5+-+i

Toms Hinweis auf die n-ten Einheitswurzeln ist gut. Allerdings ziehst Du hier nicht die 5 fünften Wurzel aus 1 sondern aus i. Hier ist ein Link, wie man ganz allgemein die n n.-ten Wurzeln aus einer komplexen Zahl zieht. Auf der rechten Seite ist ein Beispiel : Die fünf fünften Wurzeln aus 1 + i√3 = z^5.

http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%...

Dein Beispiel (, wenn ich richtig liege mit z^5 = i http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+z^5+%3D...

z^5 = i ist dabei noch einfach nach zu vollziehen.

1. z^5 = i * i * i * i * i = i^4 * i = i

2. z^5 = (-1)^(1/10)^5 = (-1)^(5/10) = i

usw.

Ich hoffe, ich konnte weiterhelfen.

Gruß

Zusatz:

Mario, ich denke, dass Du ein Student bist, der erst mit den komplexen Zahlen begonnen hat. Wenn Du wirklich die komplexen Lösungen der Funktionsgleichung z^5 :i ( = f(z)) suchst, bist Du mit einer gewöhnlichen Äquivalenzumformung (multipliziere die Gleichung mit der komplexen Zahl i) fertig!

z^5 : i = 0 | ...*i

<=> z^5 = 0

<=> z = 0

Falls Du diese Gleichung z^5 = i meinst, sind die fünf fünften komplexen Wurzeln/Lösungen, die Dir Wolframalpha angibt, korrekt (hinter der 10. ten Wurzel steht die ungefähre Lösung in kartesische Darstellung). Ich hatte zwei Vorzeichen nicht richtig angegeben. Falls Du sie in Polarform brauchst, rechne ich Dir diese auch noch vor (siehe dazu die Wikipedia-Seite, Wurzeln/Lösungen aus komplexen Zahlen http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%...

z^5 = a = i

a ist nicht = 0 und a = i = | i | * e^(i*pi/2) = e^(i*pi/2) <-- in Exponentialform/Polarform

http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen#Polar...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=e^%28i*pi%2F2...

Betrag von i ist der Radius = 1 und der Winkel ist pi/2 in Bogenmaß (in Gradmaß = 90°)

Mit n=5 und k = 0,1,2,3,4 gilt

die fünf Lösungen von z^5 = i

1. z = i ............... = e^(i*pi/(2*5) + 1*i*2pi/5) = i ............ ....... = e^(i*pi/2)

2. z = (-1)^(9/10) = e^(i*pi/(2*5) + 2*i*2pi/5) .........................= e^(i*9pi/10 )

3. z = -(-1)^(3/10) = e^(i*pi/(2*5) + 3*i*2pi/5) = e^(i*13pi/10 ) = e^(-i*7pi/10 )

4. z = -(-1)^(7/10) = e^(i*pi/(2*5) + 4*i*2pi/5) = e^(i*17pi/10 ) = e^(- i*3pi/10 )

5. z = (-1)^(1/10) = e^(i*pi/(2*5) + 0*i*2pi/5) ......................... = e^(i*1pi/10 )

e^(i*13pi/10 ) = -(-1)^(3/10) = e^(-i*7pi/10 )

siehe auch unter 'Alternativ forms'

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+e^%2813*i*pi...

Ich hoffe, das es jetzt klarer geworden ist. Du kannst aber gerne weitere Fragen stellen.

Gruß

Annahme: z⁵ = i

Nach dem Satz von MOIVRE kann man die Wurzeln ziehen; du erhältst auch 5 Lösungen.

Brauchst den Betrag von i → | i | = 1

Das zugehörige Argument ist 90°.

Um die erste Wurzel (Lösung) zu finden, wird das Argument durch 5 dividiert → 18°.

Außerdem dividierst Du den Vollwinkel durch 5, also 360° / 5 = 72°.

Für die Beträge der 5 Lösungen brauchst Du die 5-te Wurzel aus dem Betrag von i, was hier wohl kein Problem sein dürfte.

Die Lösungen:

z₀ = 1 ⋅ [cos 18° + i ⋅ sin 18°]

z₁ = 1 ⋅ [cos (18°+72°) + i ⋅ sin (18°+72°)]

z₂ = 1 ⋅ [cos (18°+2⋅72°) + i ⋅ sin (18°+2⋅72°)]

z₃ = 1 ⋅ [cos (18°+3⋅72°) + i ⋅ sin (18°+3⋅72°)]

z₄ = 1 ⋅ [cos (18°+4⋅72°) + i ⋅ sin (18°+4⋅72°)]

(Würdest Du jetzt noch einmal 72° zu dem letzten erhaltenen Argument addieren, wärst Du schon wieder bei 18°.)

Hoffe, das ist verständlich. Das Umwandeln in andere Darstellungen komplexer Zahlen kannst Du - bei Bedarf - bestimmt schon.

Gruß

Ich seh' da keine Gleichung!

Schau doch mal hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitswurzel