knifflige Aufgabe für helle Köpfe hier?

Hallo Ralf!

Die eine reelle Lösung x = 9 sieht man wirklich auf den ersten Blick. Da kannst Du genauso gut fragen: Was ist die Lösung dieser Gleichung x² = 81 <=> x² - 81 = 0 <=> x = 9 oder x = -9 Fertig!

Und Deine Gleichung x² + √x = 84

<=> x² + √x - 84 = 0

<=> (x² - 81) + (√x - 3) = 0

ist nicht kniffliger, wenn man sich mit quadratischen Funktionen und (reellwertigen) Wurzelfunktionen beschäftigt hat, bzw. die einfachen Quadratzahlen im Kopf hat.

<=> (x² - 81) + (√x - 3) = 0 <=> x = 9

Auch fertig, falls Du nur die eine reelle Lösung meinst, denn eigentlich hat Deine Gleichung genau drei Lösungen!!!

Knifflig fände ich, wenn überhaupt, alle Lösungen Deiner Gleichungen zu finden.

x ≈ -9,16515 + 0,165165i

x ≈ -9,16515 - 0,165165i

x = 9

Und Fankle hat wirklich ein korrektes Verfahren aufgetan (mitunter die Cardanischen Formeln http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln; Lagrange-Resolvente (Polynom 4. Grades auf ein Polynom 3.Grades reduziert http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Resolvente#G... um alle diese drei Lösungen (auch x=9) zu finden.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%C2%B2...

Die beiden ersten Lösungen sind etwas kompliziert (in exakter Form mit Wurzelausdrücken) dargestellt.

Sie besitzen auch einen gewissen imaginären Anteil.

Dass die Gleichung x² + √x = 84 genau eine reelle Lösung besitzt, liegt in der Natur der reellen Zahlen: Eine nicht negative Zahl (da √x in der Gleichung vorkommt), dessen Wurzel und dessen Quadrat addiert eine positive Zahl (hier:=84) ergibt, kann nur eine nicht negative reelle Zahl zwischen 0 und 84 sein. Das müsste ja wohl jedem klar sein, der eine Quadratwurzel aus einer positiven reellen Zahl ziehen kann.

Aber gut. Vielleicht sieht man es schneller, wenn man folgendermaßen vorgeht. Man substituiert √x =: z und erhält diese Gleichung zum Lösen

0 < z⁴ + z = 84

Die einzige nicht negative reelle Zahl, die hier passt, ist z = 3, bzw.

0 < z⁴ + 0 ≤ 84

0 < z⁴ ≤ 84

die vierte Wurzel aus 84 ( ∜84 ) ≈ 3,0274

Also, z ist nicht negativ! und muss kleiner als 3,0274 sein => 0 < z < 3,0274

Da ist es naheliegend, z = 3 zu wählen, denn es gilt

3⁴ + 3 = 81 + 3 = 84 et voilà!

Wie gesagt, ist z = 3 = √x <=> z² = x = 9 die einzige (nicht negative) reelle Lösung.

(@Wurzelgnom: Das ist nicht nötig und auch nicht sehr clever, die natürliche Zahl 84 in Primfaktoren zu zerlegen und solche ominösen Fallunterscheidungen vorzunehmen. Eigentlich reicht es aus, wenn man die natürliche Zahl x = 9 als einzige reelle Lösung angibt. 9² + √9 = 84. Und fertig! Die zwei komplex konjugierten Lösungen hast Du so oder so nicht finden können, bzw. nicht angegeben. Dein Post an Fankle: Falsch! Das Quadrieren ist sehr wohl legitim, denn auf diese Weise erhält man erst die beiden anderen komplexen Lösungen der Gleichung x² + √x = 84!

@dr jekyll

Dein Post an Fankle: Auch falsch! Es gibt zwar nur eine reelle Lösung, aber die Gleichung x² + √x = 84 besitzt genau drei Lösungen. Das "i" steht nicht für ignorieren sondern für imaginär!

Und wie Du siehst, ist x² + √x = 84 , für x ≈ -9,16515 - 0,165165*i

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-9.16515+%...

Wenn man alle Lösungen dieser Gleichung x² + √x = 84 <=> z⁴ + z = 84 finden will, muss man sich mit den komplexen Zahlen beschäftigt haben, oder den primitiven Einheitswurzeln.

Ein Polynom 4.Grades z⁴ + z = 84 <=> z⁴ + z - 84 = 0 besitzt genau vier Lösungen. In diesem einfachen Fall (also mit reellen Koeffizienten 1,0,0,1,-84) sind es zwei reelle Lösungen (eine positive und eine negative) und zwei komplexe Lösungen.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=z^4+%2B+z+%3D...

Die negative reelle!!! Lösung z ≈ -3,05455 < 0 fällt allerdings weg, da keine Wurzel aus einer reellen Zahl wieder eine negative reelle Zahl ergeben könnte. Diese Zahl x exisiert nicht!!!

(Nicht definiert, z ist eine negative reelle Zahl z = √x = √? = -3,05455 <--die Zahl x existiert nicht in der Mathematik!).

Man könnte auch (mit der einen gefundenen reellen Lösung z=√x = √9 = 3 ,

(z - 3) abdividieren (Stichwort: Polynomdivision), so dass man 'nur' noch dieses Polynom 3.Grades lösen muss

z³ + 3z² + 9z + 28 = 0

Mit dem Zwischenwertsatz (reelle Analysis) findet man schell heraus, dass diese einzige reelle Lösung, die ein Polynom 3.Grades grundsätzlich besitzt, negativ ist, die aber aus oben genannten Gründen wegfällt,

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+z%C2%B3...

sowie die beiden komplexen Lösungen

z³ + 3z² + 9z + 28 = 0 <=>

z ≈ ( -3,05455) oder

z ≈ (0,027277 - 3,027523i) oder z ≈ (0,027277 + 3,027523i)

Deswegen bleiben insgesamt diese drei Lösungen (eine positiv reelle z =√x = √9 = 3 und zwei komplex konjugierte) übrig, die quadriert, das ergeben (, da √x =: z >0 <=> x = z², wir suchen ja x, also z² ) :

Am leichtesten geht's so:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B2%2Bsqr...

Das können hier auch die dunkelsten Köpfe.

@Fankle

9,33 ist Blödsinn, denn

laut Aufgabenstellung muss die Lösung zwischen 0 und √84 liegen

Aber √84 ist rd. 9,16515139

@Fankle

Es kann nur eine Lösung geben

@Wurzelgnom

Wenn du schon eine Lösung hast, brauchst du nach keiner weiteren zu suchen.

Die Funktion

f(x) = x² + wurzel(x) - 84

ist streng monoton wachsend, da

f '(x) = 2x + 1/2 x^( - 1/2) > 0 für alle x im Definitionsbereich ist

Wenn man vorgegeben hat, dass es eine ganzzahlige Lösung gibt, ist es ganz einfach:

x² + √x = 84

(√x)^4 + √x = 84

√x * [ (√x)³ + 1]

Jetzt zerlegen wir die 84 in Faktoren:

84 = 2*2*3*7

Dabei kann √x nicht 2 sein, denn dann wäre (√x)³ + 1 ungerade, aber 84 ist durch 4 teilbar

6 und 14 entfallen aus dem gleichen Grund.

Bleiben also nur noch 3, 4, 7 und 21

3(3³+1) = 3*(27+1) = 3*28 = 84

Das muss die einzige ganzzahlige Lösung sein

Für 4, 7 oder 21 wird das Produkt größer.

Nun betrachte ich die Gleichung aber noch mal daraufhin, ob es nicht noch eine weitere - nicht ganzzahlige - Lösung gibt.

(√x)^4 + √x - 84 = 0

Eine Lösung für √x kenne ich bereits : √x = 3

Also muss der Term (√x)^4 + √x - 84

ohne Rest durch ( √x - 3) teilbar sein.

Durch Polynomendivision erhalten wir:

[(√x)^4 + √x - 84] : ( √x - 3) = (√x)³ + 3(√x )² + 9x + 28 = (√x + 3)³ + 1 > 0

Das aber ist immer größer als 0, da √x >/= 0

Also gibt es auch keine weitere Lösung außer

√x = 3 <=> x = 9

@Fankle

In diesem Falle ist das Quadrieren NICHT legitim, da Du dadurch die Lösungsmenge erweiterst.

Das ist somit keine Äquivalenzumformung.

x² + √x = 84 ist äquivalent zu x² = 84 - √x

Die Funktionen f und g mit f(x) = x² und g(x) = 84 - √x

haben nur einen Schnittpunkt S(9|81)

Durch das Quadrieren erweiterst Du die Lösungsmenge unzulässig um den Schnittpunkt von

f und h mit f(x) = x² und h(x) = 84 + √x

Dieser wäre bei ca. (9,33|87,05)

x^2 + x^(1/2) = 84

x^(1/2) = 84 - x^2

x = (84 - x^2)^2

x = 7056 - 168x^2 + x^4

0 = x^4 -168x^2 - x + 7056

Diese Gleichung hat zwei reelle Loesungen: 9 und ~9,33

Hier steht, wie es geht:

Die Gleichung liegt bereits in der Normalform x^4 + ax³ + bx² + cx + d = 0 vor.

Diese Gleichung hat die Form x^4 + px² + qy + r = 0, sie weist kein kubisches

Glied mehr auf.

Diese Gleichung kann über ihre kubische Resolvente z³ - 2pz² + (p²-4r)z + q² = 0

gelöst werden.

z³ + 336z² + 1 = 0

Man benötigt also zunächst die Lösungen dieser Gleichung.

Lösen der kubischen Gleichung x³ + 336x² + 1 = 0

————————

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form

y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.

(y - 112)³ + 336(y - 112)² + 1 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

p = s - r²/3 = -37632

q = 2r³/27 - rs/3 + t = 2809857

y³ - 37632y + 2809857 = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

p = -37632 q = 2809857

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,

ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,

und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,

im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe

trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = 1404928,25.

Da R nicht negativ ist, kann die Gleichung mit der Cardanischen Formel gelöst werden:

T = sqr((q/2)²+(p/3)³) = sqr(R) = 1185,2966928157691

u = kubikwurzel(-q/2 + T) = -111,96850738995613

v = kubikwurzel(-q/2 - T) = -112,03150146775309

y = u + v = -224,00000885770922

1

y = -(u + v)/2 - ((u - v)/2)*sqr(3)·î = 112,00000442885461 - 0,054554471660138874·î

2

y = -(u + v)/2 + ((u - v)/2)*sqr(3)·î = 112,00000442885461 + 0,054554471660138874·î

3

Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.

r=336 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.

Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

x = -336,0000088577093

1

x = 0,000004428854641774475 - 0,05455447166013715·î

2

x = 0,000004428854641774475 + 0,05455447166013715·î

3

—

Zurück zur Lösung der biquadratischen Gleichung.

Das Lösungsverfahren für kubische Gleichungen ergab also für das z der

kubischen Resolvente:

z = -336,0000088577093

1

z = 0,000004428854641774475 - 0,05455447166013715·î

2

z = 0,000004428854641774475 + 0,05455447166013715·î

3

Nach dem Satz von Vieta muß das Produkt der drei Lösungen gleich dem linearen Glied

der Gleichung sein, hier also q² = 1.

Die Lösungen für y ergeben sich nun folgendermaßen:

y = ( sqr(-z ) + sqr(-z ) + sqr(-z ) ) / 2

1 1 2 3

y = ( sqr(-z ) - sqr(-z ) - sqr(-z ) ) / 2

2 1 2 3

y = (-sqr(-z ) + sqr(-z ) - sqr(-z ) ) / 2

3 1 2 3

y = (-sqr(-z ) - sqr(-z ) + sqr(-z ) ) / 2

4 1 2 3

wobei jedoch die Wahl der Vorzeichen der Wurzeln so getroffen werden muß, daß deren

Produkt gleich -q = 1 ist.

Die Wurzeln

sqr(336,0000088577093) = -18,33030302143719

sqr(-0,000004428854641774475 + 0,05455447166013715·î) = 0,1651515107185937 + 0,1651649186336964·î

sqr(-0,000004428854641774475 - 0,05455447166013715·î) = -0,1651515107185937 + 0,1651649186336964·î

erfüllen diese Bedingung.

Damit ergeben sich folgende Werte für y

y = -9,165151510718594 + 0,16516491863370458·î

1

y = -9,165151510718594 - 0,16516491863370458·î

2

y = 9,330303021437189

3

y = 9

4

und nach Subtraktion von a/4 ( = 0 ) die Lösungen der gegebenen

biquadratischen Gleichung:

x = -9,165151510718594 + 0,16516491863370458·î

1

x = -9,165151510718594 - 0,16516491863370458·î

2

x = 9,330303021437189

3

x = 9

4

9 * 9 = 81

Wurzel aus 9 = 3

81 + 3 = 84

Was heisst für helle Köpfe :-)) ? Ist ja schon klar dass x 9 sein muss ?! Sieht man doch !

Uh, sehr knifflig, indeed.

Aber ich bin eher der dunkle Kopf.

Sagen wir, 12, OK?

Mit Teppich und Tee.