Analytische Geometrie: Volumen einer Pyramide?

Question

Ich verzweifel hier gerade an einer kleinen Aufgabe:

Wie groß ist das Volumen der Pyramide, die die Ebene E und die 3 Koordinatenachsen auspannen: E: (2/2/1)*OX=8

Was ich alleine Herausfinden konnte : die Basis der Pyramide ist A (0, 0, 0), B(4, 0, 0), C = (0, 4, 0) und die Spitze ist D (0, 0, 8)

Ich weiss auch das die Formel dafür V= 1/3*G*H heisst, aber trotzdem weiss ich nicht sicher was G und h sind!
Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar
LG Nacho

Anonym · Accepted Answer

Schau mal bitte hier mfg#
http://de.wikipedia.org/wiki/Pyramide_%28Geometrie%29
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/pyramide-volumen.html
http://www.youtube.com/watch?v=RgBNykda4cs

Wurzelgnom · Answer

Die Ebenengleichung ist :
(2|2|1)(x;y;z) = 8, also
2x + 2y + z = 8

Sie schneidet die Achsen in:
2x + 2*0 + 0 = 8, also (4|0|0)
2*0 + 2y + 0 = 8, also (0|4|0) und
2*0 + 2*0 + z = 8, also (0|0|8)

Die GrundflÃ¤che ist
A = 1/2 * 4 * 4 = 8 (in FE)
Die HÃ¶he ist z = 8 (in LE)

Das Volumen ist V = 1/3 8*8 = 64/3 (in VE)

@AxelArizonaman
HÃ¶r doch bitte endlich mal auf, hier i-welche Links reinzustellen, die den Fragestellern absolut nix bringen!

Tom · Answer

Ja nu, da gibtÂ´s mehrere Wege: 
Du kannst die Hessesche Normalform 
der Ebene bestimmen:
|(2|2|1)|=3

E: 2x+2y+1z=8   /:3
HNF: (2x+2y+z-8)/3=0
Setzt Du jetzt Deinen Koordinatenursprung ein 
und bildest den Betrag, hast Du den Abstand 
Deiner Ebene vom Koordinatenursprung - also 
Deine HÃ¶he. Das ergibt h=8/3. 

AuÃerdem kÃ¶nntest Du eine Gleichung einer 
Geraden aufstellen, welche senkrecht zu E 
und durch den KU verlÃ¤uft:
vec(x)=s*(2|2|1),
dann den Schnittpunkt dieser Geraden mit Deiner 
Ebene und schlieÃlich den Abstand dieses 
Schnittpunktes von KU berechnen. => h


Nun brauchst Du noch die GrundflÃ¤che:
Es bietet sich folgende Formel an:
A=(1/2)*|vec(AB) x vec(AC)|


Wenn Du aber schon das Kreuzprodukt verwendest, 
kannst Du auch gleich das Spatprodukt in der Formel

V=(1/6)*|[(vec(AB) x vec(AC)]Â°vec(AD)|

anwenden.

Wenn Du im Internet nach oben genannten Begriffen 
suchst, findest Du bestimmt schnell detailliertere 
ErklÃ¤rungen.

P.S.: Wenn Du Dich mit Determinanten auskennen 
solltest, kannst Du auch die Formel

V=(1/6)*|det(vec(AB),vec(AC),vec(AD))|

vewenden!

hinz_und_kunz · Answer

G ist die GrundflÃ¤che
h ist die HÃ¶he

Die GrundflÃ¤che ist ein rechtwinkliges Dreieck. [AB] = 4 und [AC] = 4 sind die Katheten
h = zD = 8

Wir sehen nun kein Problem mehr.
GruÃ
H&K

KN · Answer

Du hast doch schon alles, du musst die nur mal die Pyramide genauer betrachten. Die GrundflÃ¤che ist ein Dreieck in der x-y Ebene mit der Grundlinie x und der HÃ¶he y, also A= 4*4/2 = 8. Die HÃ¶he der Pyramide ist z, also 8. Somit

V= 4*4*8/6 = 64/3

Du kannst es auch mit den Vektoren hinschreiben

G=|B-A| * |C-A|/2

h = |D-A|

V= 1/3 G h = |B-A| * |C-A|*|D-A| /6

Du hast dann zwar eine schiefe Pyramide betrachtet, aber auch fÃ¼r die gilt V= 1/3 G*h

Das was Tom geschrieben hat stimmt auch. Ist aber eher nach dem Motto: "Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht"

Andy · Answer

G steht fÃ¼r die GrundflÃ¤che. Sie wird im Endeffekt aus den Eckpunkten erhalten. Du musst aus den Punkten Vektoren bilden und dann kannst du mit den VektorbetrÃ¤gen als LÃ¤ngen rechnen. Die HÃ¶he h kannst du aus der Spitze und der Ebene berechnen. Das geht dann Ã¼ber die Bestimmung des Abstands vom Punkt zur Ebene.

Analytische Geometrie: Volumen einer Pyramide?

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