Gebrochen Rationale Funktionen--- HILFE!!!?

Bin jetzt zu faul das nach zurechnen, versuch aber trotzdem zu helfen .. :-)

Für die Symmetrie verwendest du 2 x-Punkte die nahe link und rechts der Polstelle liegen und setzt sie in die Stammfunktion ein.. so erfährst du ob die Funktion Achsen- oder Punktsymetrisch ist.. (bin mir dabei aber nicht mehr sicher, ist lange her)

Extrema bin ich mir sicher: Du bildest die erste Ableitung der Funktion, setzt diese =0 und bekommst so die X-werte heraus.. nun setzt du die X- werte in die Stammfunktion ein und bekommst so die y-Werte.. um Hoch-oder Teifpunkt zu erfahren musst du die x-werte in die 2 Ableitung einsetzten..

Grenzwerte bin ich mir selber nicht mehr sicher..

Ich glaube aber da fehlen noch einige Dinge zu vollständigen Kurvendiskussion.. Krümmung, Asymtothen, Schnittpunkte mit y- Achse usw.. :-)

Hoffe ich konnte dir irgendwie weiterhelfen, ist lange her das ich sowas gemacht habe :-)

lg

Zuerst Funktionsterm versuchen zu vereinfachen:

f(x) = [2(x² - 3x + 2)] / [3(x² - 1)]

= [2(x² - 3x + 2)] / [3(x + 1)(x - 1)]

Polynomdivision Zählerfunktion : Nennerfunktion: (x² - 3x + 2) : (x - 1) = x - 2

----> f(x) = [2(x - 2)] / [3(x + 1)] = (2x - 4) / (3x + 3)

Nun zur Untersuchung:

1. Definitionsbereich: Bei x = -1 wird die Nennerfunktion Null. Die Division durch Null ist nicht definiert. ----> x ϵ |R\{-1}

2. Nullstellen: Eine gebrochenrationale Funktion hat dort Nullstellen, an denen die Zählerfunktion Null wird, nicht aber die Nennerfunktion. 0 = 2(x0 - 2) ----> x0 = 2

3. Symmetrie: Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse: f(x) = f(-x); Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung: f(x) = - f(-x)

Für jedes x wird zuerst -x eingesetzt: f(-x) = (2(-x) - 4) / (3(-x) + 3) = (-2x - 4) / (-3x + 3) ≠ f(x)

Die Funktion ist also nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.

Nun noch f(-x) mit -1 multiplizieren: - f(-x) = - [(-2x - 4) / (-3x + 3)] = (2x + 4) / (-3x + 3) ≠ f(x)

Es liegt auch keine Punktsymmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs vor.

4. Polstellen und Asymptoten: Polstellen bei gebrochenrtationalen Funktionen sind diejenigen Stellen, an denen die Nennerfunktion Null wird, nicht aber die Zählerfunktion. 0 = 3xP + 3 ----> xP = -1

Asymptoten sind Geraden denen sich der Graph der Funktion nähert, aber nie schneidet oder berührt. Es gibt senkrechte, waagerechte und schiefe bzw. schräge Asymptoten. An den Polstellen existieren senkrechte Asymptoten. x = -1 ist also Asymptote für die gegebene Funktion.

Nun ist die höchste Potenz von x Zählerfunktion gleich höchste Poten von x Nennerfunktion ----> Existenz einer waagerechten Asymptote.

5. Verhalten im Unendlichen bzw. Grenzwerte: Zuerst lassen wir x gegen plus bzw. minus Unendlich streben. (unter dem "lim f(x)" müsste im folgenden immer "x→∞" bzw. "x→-∞" stehen, was sich hier aber schlecht darstellen lässt)

lim f(x) = (2x - 4) / (3x + 3)

Sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion streben gegen plus bzw. minus Unendlich und es würden Ausdrücke wie ∞/∞ bzw. -∞/-∞ herauskommen, was uns nicht weiterbringt. Daher klammert man nun die höchste Potenz von x aus. lim f(x) = x(2 - 4/x) / x(3 + 3/x)

Das ausgeklammerte x kürzt sich nun weg. Strebt nun x gegen Unendlich, so streben die Terme -4/x und 3/x gegen Null und wir erhalten: lim f(x) = (2 - 0) / (3 + 0) = 2/3

Der Graph nähert sich bei immer größer bzw. kleiner werdendem x (x→∞ bzw. x→-∞) dem Funktionswert 2/3 an, erreicht ihn aber nie. y = 2/3 lautet also die Gleichung für die waagerechte Asymptote.

Verhalten an den Grenzbereichen des Definitionsbereiches (Polstellen): Dabei nähern wir uns der Polstelle einmal von rechts und einmal von links. (Die beiden Ausdrücke müssten wieder unter dem lim f(x) stehen.) x→ -1 und x > -1 bzw. x→ - 1 und x < -1

Nähert sich x der Polstelle von rechts, so strebt die Nennerfunktion gegen Null, nimmt aber immer positive Werte an, wohingegen die Zählerfunktion gegen einen festen Wert strebt (-6). Eine negative Zahl geteilt durch eine positive Zahl ergibt eine negative Zahl, der Graph der Funktion verläuft also rechts der Polstelle im 3. Quadranten. Dividiert man eine Zahl durch betragsmäßig immer kleiner werdende Zahlen, so ergeben sich betragsmäßig immer größere Zahlen. Der Graph "kommt" also rechts von der Polstelle aus dem -∞. (ACHTUNG: Nimmt man die ursprüngliche, also ungekürzte Funktion, so sind die Vorzeichen von Zähler- und Nennerfunktion vertauscht!!! Das führt aber zur selben Lösung.)

Annäherung von links: Die Zählerfunktion strebt wieder gegen einen festen (negativen) Wert, die Nennerfunktion nimmt negative Werte an. Der Graph "entschwindet" also ins plus Unendliche, wenn x sich von links der Polstelle nähert.

Verläuft der Graph auf beiden Seiten der Polstelle in entgegengesetze Richtungen, so spricht man von einer "ungeraden" Polstelle, bei gleicher Richtung entsprechend von einer "geraden" Polstelle.

6. Extrema: Bedingung: f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0

f'(x) = [2 * (3x + 3) - 3 * (2x - 4)] / (3x + 3)² = [6x + 6 - 6x + 12] / (3x + 3)² = 18 / (3x + 3)²

Hier sieht man, dass f'(x) für den gesamten Definitionsbereich nie den Wert Null annimmt, daher gibt es auch keine Extrema

7. Wendepunkte: Keine Wendepunkte, da die Wendestellen-Bedingung f"(x) = 0 nie erfüllt ist.

8. Wertemenge: Die Funktionswerte nähern sich der waagerechten Asymptote, erreichen sie aber nie, daher: Wf = |R\{2/3}

Letztendlich wird manchmal noch verlangt, den Graphen in einem bestimmten Intervall zu zeichnen bzw. zu skizzieren: die bei der Kurvendiskussion berechneten Punkte und Geraden ins Koordinatensystem zeichnen und dann den Graphen einzeichnen. (Je nach verlangter Genauigkeit noch weitere Punkte berechnen.)