Wie differenziert man die Funktion (x-1)² * Wurzel(x)?

f(x)=(x-1)²*√x

Produktregel mit u(x)=(x-1)² und

v(x)=√x=x^(1/2).

=> u´(x)=2(x-1) und

v´(x)=(1/2)*x^(-1/2)=1/(2*√x)

=> f´(x)=2(x-1)*√x+(x-1)²*1/(2√x)

=[4(x-1)*x+x²-2x+1]/(2√x)

=(5x²-6x+1)/(2√x)

=(5/2)x^(3/2)-3√x+ 1/(2√x)

====================

Das bekommen wir sicher auch hin, wenn

wir zuerst ausmultiplizieren:

f(x)=(x²-2x+1)*√x

=x^(5/2)-2x^(3/2)+√x

=> f´(x)=(5/2)x^(3/2)-3√x+ 1/(2√x)

=========================

Juhu oder q.e.d. wie der Lateiner zu sagen pflegt.

du benutzt die produktregel, also f(x)=u(x)*v(x) -> f´(x)=u(x)*v´(x)+u´(x)*v(x)

in deinem fall ist dann u(x)=(x-1)^2 -> u´(x)=2(x-1) und v(x)=wurzel(x) -> v´(x)=1/(2*wurzel(x))

damit ist f´(x)=(x-1)^2/(2*wurzel(x)) + 2*(x-1)*wurzel(x)

den rechten teil erweiterst du dann mit 2*wurzel(x), damit du die beiden brüche dann zusammenfassen kannst:

f´(x)=(x-1)^2/(2*wurzel(x)) + 2*(x-1)*wurzel(x)*2*wurzel(x)/(2*wurzel(x))

=((x-1)^2 + 4*(x-1)*wurzel(x)*wurzel(x)) / (2*wurzel(x))

= (5x^2-6x+1) / (2*wurzel(x))

weiter könnte ich das jetzt auch nicht mehr zusammenfassen, hoffe ich konnte dir helfen ;)

Warum machen es alle so kompliziert?

Wir wissen, daß die Ableitung von x^n = n*x^(n-1) ist.

Also lösen wir zunächst mal die Binomische Formel auf: x²-2x+1

dann erhalten wir: f(x) = (x²-2x+1)* √x = x-2*x*√x+√ = x+2*x^(3/2)+x^(1/2)

Und das dann stumpf abgeleitet:

1+2*3/2*x^(1/2)+(1/2)*x^(-1/2) = 1 + 3*√x + 1/(2*√x)