Pascaliches Dreieck und lotto Wahrscheinlichkeit ?

Es hat in beiden Fällen was mit der Funktion (n über k) zu tun.

1.

Beispiel 6 aus 49.

Es werden 6 Zahlen aus 49 gezogen.

Für die 1. gibt es 49 Möglichkeiten,

für die 2. bleiben dann je noch 48.

Für die 3. bleiben in jedem Falle dann noch 47 Möglichkeiten.

Für die 4. Zahl bleiben jeweils 46 übrig.

Für die 5. hat man 45 Möglichkeiten und

für die sechste Zahl bleiben jeweils noch 44 übrig.

Im Ganzen kann man also auf

49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44

verschiedene Art und Weise 6 Zahlen aus 49 ziehen.

Das sind 49 ! / 43!

Für den Lottoschein interessiert es nun aber niemanden, in welcher Reihenfolge diese Zahlen gezogen wurde. Es geht nur um die sechs Zahlen selber.

Also müssen wir noch mal durch die Anzahl teilen, wie oft man sechs Zahlen vertauschen kann, also durch 6!

Insgesamt gilt also:

(49 über 6) = 49! / [(49 - 6)! * 6!]

Allgemein:

(n über k) = n! /[(n - k)! * k!]

2. Das sind dann auch die Zahlen, die als Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck auftreten:

1

1 - 1

1 - 2 - 1

1 - 3 - 3 - 1

1 - 4 - 6 - 4 - 1

1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1

Du kriegst sie in der Folgereihe immer, indem Du die beiden darüberstehenden Zahlen addierst, also in der 5. Reihe:

1 - (1 + 4) - (4 + 6) - ( 6 + 4) - (4+ 1) - 1

1 - ...5 .... - ...10 ... - .. 10 .. - ... 5 .. - 1

Und das ist

(5 über 0) = 5! / [( 5 - 0)!*0!] = 5! / 5! = 1

(5 über 1) = 5! / [( 5 - 1)!*1!] = 5! / 4! = 5

(5 über 2) = 5! / [(5 - 2)! * 2!] = 5! / (3!*2!) = 5*4/2 = 10

(5 über 3) = 5! /[( 5 - 3)! * 3!] = 5! / (2! * 3!) = (5*4*3)/(3*2) = 10

(5 über 4) = 5! / [(5 - 4)! * 4!] = (5*4*3*2)/4! = 5

(5 über 5) = 5! / [(5 - 5)! * 5!] = 5!/5! = 1

3. Und diese Zahlen im Pascalschen Dreieck sind gleichzeitig die Binomialkoeffizienten, also die Faktoren im Binomischen Satz.

Der einfachste Fall dafür ist die binomische Formel:

(a + b)² = a² + 2ab + b², also

1a², 2ab, 1b², also 1 - 2 - 1

Für die 3. Potenz gilt dann

(a + b)³ = a² + 3a²b + 3ab² + b², also 1 - 3 - 3 - 1