Beziehung Kugel und Kreis zueinander?

Hallo!

Leider geht in Deiner Frage nicht hevor, ob Du eine Schülerin oder eine Studentin bist. Aber da die meisten Schüler/Studenten sich die Kreis- oder Kugelgleichung nicht in 3d vorstellen können, gebe ich Dir einige Plots zur Ansicht. Die Beziehung zwischen diesen beiden Gleichungen, kannst Du Dir dann selbst erarbeiten.

Egidius hat es schon richtig begonnen.

Angenommen die Radien der Kugel- und Kreisgleichung seien identisch.

R² = (x-5)²+(y-3)²+(z-0)² (Kugel)

R² = (x-5)²+(y-3)² .........(Kreis)

Zunächst die Kreisgleichung.

Beispiel R = 2

R² = (x-5)²+(y-3)² = 4

In der x-y Ebene beschreibt das einen Kreis (mit Radius 2), der um 5 Einheiten nach rechts (weil x-5) und 3 Einheiten nach oben (weil y - 3) vom Koordinatenursprung (0 | 0) = (x | y) verschoben wird. Dieser Kreis mit Radius 2 (und Mittelpunkt (5|3)) liegt n i c h t in der z-Ebene z = 0 (Äquator!?) , sondern in der z-Ebene z = 4, denn der Funktionswert f(x,y) = z wird auf die z-Koordinate (Höhe im Raum) abgebildet, d.h

z = f(x,y) = R² = (x-5)²+(y-3)² = 4

Wenn man Kreise (mit beliebigen Radien) von oben aus betrachtet, (von z-Ebene z = 4 bis runter auf die z-Ebene z = 0), so 'sieht' man die Kreise/bzw. den Punkt (5 | 3) mit Radius 0 = z (tiefste Ebene)

R² = 0 = (x - 5)² + (y - 3)² <---- Ein Punkt (5 | 3) auf der z-Ebene z = 0

R² = 1 = (x - 5)² + (y - 3)² <---- Kreis mit Radius 1 auf der z-Ebene z = 1

R² = 4 = (x - 5)² + (y - 3)² <---- Kreis mit Radius 2 auf der z-Ebene z = 4

http://www.bilder-hochladen.net/files/f9tq-1t-ea5d...

Wichtig, in den negativen z-Ebenen sind keine Punkte zu sehen, da wie hier schon erwähnt wurde, die Kreisgleichung nur positive Funktionswerte bringen

0 < R² = (x-5)²+(y-3)²

0 = (x-5)²+(y-3)² für gleich 0, gibt es nur die Lösung x = 5, y = 3 <--- tiefster Punkt der Abbildung

Betrachtet man das in 3d, so 'sieht' man einen Kelch

Von der Seite betrachtet (y-z-Ebene), 'sieht' man eine Parabel.

http://www.bilder-hochladen.net/files/f9tq-1u-fc49...

Demgegenüber stellen wir jetzt die Kugelgleichung und zwar mit dem Radius 2

K(x,y,z) = (x - 5)² + (y - 3)² + z² = R² = 4

So, wenn man für z = 0 setzt (d.h. man betrachtet die Kugel in der z-Ebene z = 0), dann liegt hier der Kreis mit Radius 2 ,

Mittelpunkt der Kugel ist (5 | 3 | 0) <---- und dieser Punkt (im Raum) war der tiefste!!! Punkt der Kreisgleichung, siehe oben: f(x,y) = 0 = (x-5)²+(y-3)² = z

Der Kreis mit dem Radius 2 lag in der z-Ebene z = 4

siehe auch oben: f(x,y) = 4 = (x - 5)² + (y - 3)²

Beide Gleichungen in einem 3d Plot , für x = 0 bis 9 , y = 0 bis 9 und z = -4 bis 4

Es ist klar, dass die untere Halbkugel entsprechend für z = -2 bis 0 gilt

http://www.bilder-hochladen.net/files/f9tq-1v-3295...

http://www.bilder-hochladen.net/files/f9tq-1w-735b...

So, ich hoffe, ich konnte Dich einwenig animieren, eigene Ideen zu entwickeln, wie man dahinter kommt, welche Beziehung zwischen der Kugel-und der Kreisgleichung steckt.

Falls Du Fragen dazu hast oder auf gute Ideen kommst, bin ich gerne bereit Dir weiter zu helfen. Bis dahin...

Gruß

@Wurzelgnom

Wenn die Kugel und der Kreis denselben Radius (hier: R = 2) besitzen, liegen sie n i c h t gemeinsam auf der z-Ebene z = 0 (Äquator!?), auch n i c h t auf der z-Ebene z = 4. Soviel kann ich wohl verraten: Der Schnittkreis liegt zwischen der z-Ebene z = 0 und z = 2 = R.

Nichts für ungut, aber Dein letzter Satz ist mal wieder sehr sinnig. Wo außerhalb, innerhalb, auf welcher z-Ebene?

Nachtrag:

Ok, ich gebe Dir die Lösung und mach' was draus :

Halte den Radius R der Kugelgleichung und den Radius r der Kreisgleichung variabel, d.h.

K(x,y,z) = (x - 5)² + (y - 3)² + z² = R²

Die Kreisgleichung f(x,y) = (x - 5)² + (y - 3)² = r² wird wie oben beschrieben auf die z-Ebene abgebildet, d.h. man setzt die Kreisgleichung f(x,y) = z

f(x,y) = (x - 5)² + (y - 3)² = z <----Radius ist r = √z

in die Kugelgleichung ein:

K(x,y,z) = (x - 5)² + (y - 3)² + z² = R²

K(z) .....= .....z.................. + z² = R²

Diese Gleichung

z + z² = R² löst man nun nach z auf

<=> z² + z - R² = 0

Man erhält eine positive und eine negative Lösung von z

z = -1/2 +/- √(4R² + 1) / 2

Die positive Lösung

z = √(4R² + 1) / 2 - 1/2 ist die gesuchte Schnittebene z, damit hat man auch den gemeinsamen Radius:

r = √z aus der Kreisgleichung.

Zahlenbeispiel:

Kugel mit Radius R = 2, in der z-Ebene z = 1,56 = √(4*2² + 1) / 2 - 1/2

besitzt also die Kreisgleichung denselben Radius r = √z = 1,25

allgemein

K(x,y,z) = (x - 5)² + (y - 3)² + z² = R² und

f(x,y) = (x - 5)² + (y - 3)² = r² = z = √(4R² + 1) / 2 - 1/2

=> Plot mit R = 2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28x-5%2...

Sicher hast Du in beiden Fällen "=R²" vergessen. Also schreiben wir es mal auf:

R² = (x-5)²+(y-3)²+(z-0)² (Kugel)

R² = (x-5)²+(y-3)² .........(Kreis)

Da fällt es doch sofort auf, dass die Kreisgleichung aus der Kugelgleichung hervorgeht, wenn man immer z=0 setzt. Was würde das denn bedeuten, wenn man nun den Kreis in ein 3-dimensionales Koordinatensystem einzeichnen würde, in dem auch die Kugel eingezeichnet ist?

Hallo, gesplitterte Dame!

Ich lese hier immer was von "Gleichung"

Dazu müsste aber rechts von den Termen immer ein Gleichheitszeichen stehen und dahinter eine reelle Zahl.

Die beiden Terme (x - 5)² + (y - 3)² + (z - 0)² bzw. (x - 5)² + (y - 3)² sind Summen von Quadraten.

Wenn dann rechts eine negative Zahl steht, wird jeweils die leere Menge beschrieben.

Wenn rechts steht "= 0", wird jeweils ein Punkt beschrieben.

(x - 5)² + (y - 3)² + ( z - 0)² = 0 ist der Punkt P( 5 | 3 | 0)

(x - 5)² + (y - 3)² = 0 ist der Punkt P( 5 | 3)

Beide Male ist es der gleiche Punkt. In der räumlichen Darstellung wird noch dazu gesagt, dass er in der Höhe z = 0 liegt.

Im zweiten Falle handelt es sich ohnehin nur um die Beschreibung von Punkten in der x-y-Ebene.

Steht recht eine positive Zahl a > 0, so lässt sich auch setzen: a = r²

Hier steht r jetzt für den Radius einer Kugel um M(5 | 3 | 0)

bzw. eines Kreises in der x-y-Ebene um M(5 | 3)

Steht in beiden Gleichungen die gleiche positive Zahl auf der rechten Seite, also

(x - 5)² + (y - 3)² + ( z - 0)² = r² und

(x - 5)² + (y - 3)² = r²,

so beschreibt der Kreis in der x-y-Ebene den Äquator der Kugel.

Sind die Radien unterschiedlich, so liegt der Kreis innerhalb oder außerhalb der Kugel in der x-y-Ebene

Eine Kugel ist das Integral über unendlich viele Kreise von 0 bis R