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Wie ermittelt man den Schnittpunkt?
Hallo,
ich habe eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann. Und zwar muss ich den Schnittpunkt der Funktionen f(x)=sin x und g(x)= cos x im Intervall [0;pi] berechnen. Eigentlich muss man ja gleichsetzen, also sin x= cos x. Aber wo braucht man dann das Intervall und wie löst man die Gleichung weiter auf??
2 Antworten
- Anonymvor 9 JahrenBeste Antwort
Das Intervall schränkt die Suche ein, da der Cosinus und Sinus als periodische Funktionen sich unendlich oft schneiden.
Zunächst muss das Problem umformuliert werden:
sin(x)=cos(x) | :cos(x)
<=> 1 = tan(x) (= sin(x)/cos(x) ...zur Erinnerung)
Die Umkehrfunktion des Tangens bilden, wobei diese im Intervall [-pi/2;pi/2] gilt:
=> x = tan^-1 (1) = 0,78539...
für x = 0,78539 haben sin(x) und cos(x) den gleichen Funktionswert f(x=0,78539) = g(x=0,78539) = 0,7071067, der sich im Intervall ziwschen 0 und pi befindet.
Numerisch kann dieses Problem natürlich auch gelöst werden.
Das Newton Verfahren bietet sich hier an: x_n+1 = x_n - h(x_n)/h'(x_n)
Hier muss zunächst wieder die Gleichung umgeformt werden zu h(x) = tan(x) - 1 und die erste Ableitung gebildet werden.
Als Startwert x_0 kann man z.B. 1 verwenden.
Für weitere Infomrationen zu diesem Verfahren ist folgender Link hilfreich:
