Wie stelle ich diese Formel um?

Hallo!

Das stimmt nicht, was bereits als Anworten hier steht. Man kann den Winkel w sowohl in Bogenmaß, als auch in Grad (°) angeben. Das ist schonmal das Erste.

Die Sinus-Funktion ist eine 2Pi - periodische (oder eben 360°- periodische), auf ganz |R definierte Funktion und bildet im abgeschlossenen Intervall [-1;1] ab.

Das Problem besteht mit der Umkehrfunktion der Sinus-Funktion (= den Arkussin) , weil die Sinus-Funktion selbst innerhalb einer ihrer Periode (2Pi Bogenmaß oder eben 360° (TR.:DEG)) nicht injektiv ist, damit nicht auf ganz |R umkehrbar ist. Die Wertemenge des Arcsin (Umkehrabbildung von sin) muss also auf eine bestimmte Definitionsmenge von sin eingeschränkt werden. Hauptsächlich wird das Intervall [- Pi/2; Pi/2] (oder eben [-90°, 90°] in Grad) betrachtet, sog. Hauptzweig (von arcsin) oder Hauptwert (Winkel*t in Deiner Gleichung).

sin : [-90° ; 90° ] -> [-1 ; 1] => Umkehrung ...arcsin : [-1 ; 1] -> [-90° ; 90°]

......................................................................TR.: INV sin oder sin⁻¹

Genauso gut, lässt sich die Sinus-Funktion für w*t = 90° * 3 = 270° berechnen.

Mit

Amplitude yDach = 2

Winkel w = 90° und t = 3 => .....sin (90° * 3) = sin (270°)

y = 2 * sin(90° * 3) = 2 * sin (270°) = (-2)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+2+*+sin...

Der Arcsin ist dann dementsprechend im Hauptzweig

w = -Pi/6 (in Bogenmaß) = 1/3 * arcsin (-2 / 2) => w = -30° (in °) <--- für ° weiter runter scrollen

Da w = -Pi/6 * 360° / 2Pi = - 30°

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F3+*+arcsi...

bzw. entsprechend verschoben w = (2Pi*n/3 + arcsin(-2/2) / 3 ) =>

w = (360°/3 + (-30°)) = 90° in Grad (für n = 1).

Das sind dann die anderen Zweige des Arcsin, die, wenn man es genau nimmt, dann für alle Winkel w , bzw. w*t auch angegeben werden sollten. Wenn man Deine Gleichung ganz allgemein nach w lösen will, ergibt das ganz genau dieses Ergebnis, Lösungsmenge:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+y%3D%28...

Ich habe für die Amplitude yDach = x gewählt.

Ich gehe mal davon aus, dass Du eine Studentin bist, deswegen sei mal Folgendes erwähnt:

Wenn Du eine Gleichung mit mehreren Variablen hast (hier: yDach; t und eben w, nach der man lösen will), dann schliesse bei den Äquivalenzumformungen, die Du vornimmst, Schritt für Schritt, alle nicht erlaubten Werte aus.

Deine Funktion y = yDach * sin(w*t)

Zunächst sind alle reellen Zahlen erlaubt: w, t, yDach sind aus |R.

y = yDach * sin(w*t)

Die Gleichung auf beiden Seiten durch yDach dividieren, das war richtig! Dadurch darf aber yDach nicht = 0 sein, sonst würde man durch Null dividieren. Also,

<=> y/yDach = sin(w*t) .......mit yDach ist nicht = 0

Um nun die Sinus-Funktion auf zu lösen, muss man also die Umkehrung von sin auf beiden Seiten anwenden ..., also arcsin(...) anwenden. Dafür betrachten wir nur den Hauptzweig von arcsin, d.h. : Sei (w*t) aus [-90° ; 90°], bzw [-Pi/2 ; Pi/2] in Bogenmaß

<=> arcsin (y/yDach) = arcsin ( sin (w*t) )

<=> arcsin (y/yDach) = w*t

Wenn man jetzt noch durch t dividiert (t ist nicht = 0), dann erhält man

<=> arcsin (y/yDach) / t = w

Mit folgenden wichtigen!!! Einschränkungen

Die Amplitude yDach und t sind n i c h t = 0

Und w*t ist aus [-90° ; 90°] , bzw. in Bogenmaß [-Pi/2 ; Pi/2] aus |R.

Einfaches Zahlenbeispiel:

y = yDach * sin(w*t)

Sei

yDach = 2 und t = 5

Der Winkel w sei = 15° (entspricht im Bogenmaß ca. 0,26)

Mit 15° mal 5 = w*t = 75° befindet man sich im Hauptzweig von arcsin.... -90°< 75° < 90°

y = 2 * sin (15° * 5) = 2 * sin (75° ) =

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+y%3D+2+*+sin...

y = (1 + √3) / √2 exakt, ca. y = 1,93

Umgekehrt y = 1,93, t = 5 und yDach = 2

=> w = 1/t * arcsin( y /yDach)

w = 1/5 * arcsin ( 1,93 / 2)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=w+%3D+1%2F5+*...

Wolframalpha gibt den Winkel in Bogenmaß an (, was ja auch üblich ist), den man aber umrechnen kann

w = 0,26 * 360° / (2Pi) = 14,89....°= ca.15°

Wie gesagt, wenn t , yDach nicht = 0 und w*t aus [-Pi/2 ; Pi/2] , dann ist die Gleichung y = yDach * sin(w*t) nach w gelöst die folgende Lösungsmenge:

t ≠ 0 und yDach ≠ 0 und w = 1/t * arcsin(y / yDach) mit w*t aus [-Pi/2 ; Pi/2]

Wenn Du die Einschränkung für den Winkel w nicht vornimmst, dann ist die Lösungsmenge für alle Winkel w (in Bogenmaß angegeben) diese:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+y%3D%28...

arcsin(...) / t = Winkel wird entsprechend verschoben.

Gruß

Die Umkehrung der Sinusfunktion ist der arcsin (allerdings ganz korrekt nur, wenn man den Winkel im Bogenmaß angibt)

Häufig schreibt man die Umkehrung von sin auch als sin^(-1)

Das darf man dann aber nicht verwechseln mit 1/sin !!!!!

Ich wähle für die Amplitude mal nicht yDach, sondern yo:

y = yo * sin ω t

y/yo = sin ω t

ωt = sin^(-1) ( y / yo)

ω = 1/t * sin^(-1) ( y / yo)

bzw.

ω = 1/t * arcsin (y / yo)

y= (yDach)* sin(w*t) | -y

0= (yDach)*sin(w*t)-y | geteilt durch sin von w

sin w= (yDach)*sin t-y