Beweis der Ableitung von sinus und kosinus am Einheitskreis?

@Ergänzung

Dann also zur Ableitung der Sinusfunktion über den Differenzenquotienten

D(h)_x = [ sin(x + h) - sin h]/h = ( sinx * cos h + cosx sinh - sinh)/ h

= sin x * (cos h - 1)/h + cos x * sin h / h

Und jetzt h gegen 0 streben lassen

= sin x * 0 + cos x * 1 = cos x

wegen lim (cos h - 1)/h = 0 und lim sin h / h = 0

DIESE beiden Grenzwerte kannst Du nun am Einheitskreis beweisen.

Meinst Du das?

@Ergänzung 2

Bin vom Konzert zurück, aber Du hast Dich nicht noch mal gemeldet, so dass ich jetzt nicht weiß, ob es das war, was Du wissen wolltest.

Hier der Beweisgedanke für den Grenzwert lim von x -> 0 für sin x / x = 1

Hier die Skizze des Einheitskreises mit dem Eintrag von sin x (blau) , x im Bogenmaß (schwarz) und tan x (rot)

http://www.bilder-hochladen.net/files/9aqw-aj-0c74...

Es gilt:

sin x < x < tan x | : x (möglich für x ungleich 0)

sin x / x < 1 < sin x / x * cos x

Jetzt lassen wir x ->0 streben, dann gilt:

lim sin x / x ≦ 1 ≦ lim sin x / x * 1, also

lim sin x / x ≦ 1 ≦ lim sin x / x

Das kann nur für lim sin x / x = 1 richtig sein

Oder (an der gleichen Figur des Einheitskreises, aber über die Flächen)

A(kleines Dreieck) < A(Kreisausschnitt) < A(großes Dreieck)

1/2 sin x * cos x < 1/2 x < 1/2 tan x

sin x * cos x < x < sin x / cos x | : sin x (ist legitim, solange x ungleich 0 ist)

cos x < x/ sin x < 1/ cos x

Jetzt lassen wir x -> 0 streben

cos 0 ≦ lim (x / sin x) ≦ 1 / cos 0, also

1 ≦ lim ( x / sin x) ≦ 1, also

lim (x / sin x) = 1, also auch der Grenzwert des reziproken Werts

lim (sin x / x) = 1

sin Alpha = Gegenkathete/Hypotenuse.

Da die Hypothenuse im Einheitskreis stets 1 ist, so entspricht der Sinus des

Winkels alpha immer der Länge der Gegenkathete von alpha.

Werden die Werte für sinus alpha aus den Einheitskreis für verschieden Winkel abgelesen, ergeben sich entsprechende Werte, die dann aufgezeichet eine Welle ergeben von 0 bis 2Pi bzw. 0 bis 360 Grad.

mfg

Hallo Lenor!

Ich verstehe Deine Frage auch nicht so wirklich. Hast Du nun einen 'komplizierten' und für Dich 'schwer' verständlichen Beweis vorliegen?

Falls Du Fragen dazu hast, nur zu...

Gruß

Nachtrag:

Wie Du sicherlich weißt, kann man in der Mathematik auf vielen Wegen wandern, um etwas 'zu beweisen'. Vermutlich hast Du 'nur' einen Beweis über die Euler-Formel (bzw. Euler'sche Identität) gefunden.

Vielleicht helfen Dir aber diese beiden Lnks (mit Schulmitteln)

http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopi...

Explizit auch am Einheitskreis (formal)

http://de.wikibooks.org/wiki/MathGymOS/_Analysis/_...

Ansonsten sind in jedem guten Analysis(I) - Buch (Differential-und Integralrechnung), Beweise für die Ableitung trigometrischer Funktionen enthalten.

Falls Du Fragen dazu hast, kannst Du sie gerne stellen.

Bitte etwas detailierter, damit man weiß, was Du eigentlich wissen willst.

Bis dahin...