Stammfunktion? Kettenregel?

Hallo Nacho,

es handelt sich hier um eine sogenannte

lineare Substitution. Dazu nimmst Du einfach

die innere (lineare) Funktion her:

(2/5)*π*x

und leitest diese ab:

(2/5)*π

Jetzt multiplizierst Du einfach die Stammfunktion

der äußeren Funktion mit dem Kehrwert dieser

Ableitung:

-(5/2*π)*cos((2/5)*π*x)

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Vergiß aber nie die Integrationskonstannte bei

unbestimmten Integralen!

Die Kurzform der linearen Substitution lautet:

∫f(ax+b)dx = (1/a)*F(ax+b)

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Dann viel Erfolg bei Deiner Klausur!

Ich nehme an, dass Du "nur" die Sachen im Grundkurs verstehen und anwenden sollst.

Du kennst die allgemeinen Regeln für das Integrieren... Beispielsweise wird ein konstanter Faktor (genauso wie beim Ableiten) einfach "mitgeführt":

k(x) = c ⋅ f(x)

Ableitung: k'(x) = a ⋅ f'(x) ; Stammfunktion(en): K(x) = a ⋅ F(x) + C

Ähnlich einfach ist etwa die Regel für eine Summe:

s(x) = a(x) ± b(x)

Ableitung; s'(x) = a'(x) ± b'(x) ; Stammfunktion(en): S(x) = A(x) + B(x) + C

Beim "unbestimmten" Integrieren (wenn Du nicht innerhalb bestimmter Grenzen, also z. B. "von x₁ nach x₂" integrierst, musst Du immer eine sogenannte additive Konstante hinzufügen, das ist dieses C, welches bedeutet, dass die Stammfunktionen, die man für verschiedene Werte von C erhält, nur vertikal zueinander verschoben sind, also alle an einer bestimmten Stelle x₀ denselben Anstieg haben.

In Deiner Funktion f(x) = 2 ⋅ sin(0,4π⋅x) ist die 2 ein konstanter Faktor, der eine Streckung des Graphen bewirkt.

Bezüglich der Winkelfunktionen SIN und COS weißt Du,

dass für die Ableitungen (sinx)' = cosx bzw. (cosx)' = -sinx gilt.

Dementsprechend gilt für das Integrieren ∫cosx dx= sinx + C und ∫sinx dx= - cosx + C.

(Im Allgemeinen wird bei Klausuren das Benutzen eines Tafelwerks erlaubt; da wäre es gut, wenn Du ziemlich genau weißt, wo die entsprechende Seite ist und was da alles steht.)

Da Du aber nicht sinx integrieren sollst, sondern statt dem einfachen "x" hier eine lineare Funktion (0,4π⋅x) steht, brauchst Du noch die Kettenregel.

Beim Ableiten verketteter Funktionen hast Du Dir vielleicht gemerkt, dass man

- die äußere Funktion ableitet (die innere dabei nicht verändert!) und

- mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert.

Im Grundkurs musst Du nur solche verketteten Funktionen integrieren, die als innere Funktion eine lineare Funktion haben; und Du weißt, dass die Ableitung von y=mx+n nämlich y'=m ist.

Merke für das Integrieren solcher speziell verketteten Funktionen:

- die äußere Funktion integrieren (also hier die Winkelfunktion, innere Funktion unverändert!) und

- durch die innere Ableitung(!) dividieren (← schreibt man meist davor, zum Faktor).

Mit dem konstanten Faktor ist die Struktur bei Deinem Beispiel (unbestimmtes Integral) so: ∫ [a⋅sin(bx)] dx = a ⋅ 1/b ⋅ (-cos(bx) + C

Ergebnis also: F(x) = 2 ⋅ 1/(2π/5) ⋅ [- cos(0,4π⋅x)] + C = - 5/π ⋅ cos(0,4π⋅x) + C

Und eben - beim Überlesen des Geschriebenen - sehe ich, dass Du ja heute schon schreibst; da hoffe ich das Beste für Dich. Hab die Frage leider eben erst "gefunden".