Rotationskörper-Volumensberechnung?

Question

Für eine Klausur muss ich folgende Aufgabe lösen können: 

Ein Sektglas ist paraboloidförmig und hat eine höhe von 8 cm und einen durchmesser von 4 cm. Dann sollen wir a)das Füllvolumen bestimmen, und b) wie groß die Füllmenge ist wenn nur 70% gefüllt sind. Daneben ist eine Zeichnung, wie das Sektglas "teilt" und auf di x-Achse gelegt wird, d.h. in x-Richtung geht es 8cm, aber in y-RIchtung nur noch 2cm hoch.
Als Ansatz für die Aufgabe haben wir diese funktion bekommen : f(x)=a* Wurzel(x-b) *c-->also das c ist ist nicht mehr in der Wurzel. Leider sind mir einige DInge unklar, z,b ob a die steigung in y richtung ist(also 2cm), oder ob das doch was anderes ist. Und selbst wenn ich das wüsste, ist mir nicht klar wie ich dann aus der Wurzel eine Stammfunktion bilden könnte.

Ich würde mich sehr über die benötigte Hilfe freuen
LG Nacho

Wurzelgnom · Accepted Answer

Hallo, Nacho!
Das ist nicht so schlimm, wie es auf den ersten Blick aussieht.
Du brauchst ja keine Stammfunktion zu der Wurzelfunktion.
Für den Rotationskörper gilt doch, dass du das Integral über pi y² bilden musst.
Mir ist bei deiner Aufgabe nur die Bedeutung des "c" am Ende nicht klar.
Wenn es nicht mehr unter der Wurzel steht, ist es doch nur ein Faktor. Aber dafür steht doch bereits am Anfang das a.

So denke ich also
y = f(x) = a√(8 - x)

Dann ist
f(8) = a * √(8 - 8) = 0
und
f(0) = a*√(8)
f(0) = a * √(4*2)
f(0) = 2a * √(2)

Und wenn Du jetzt a = 1/2 √(2) wählst, dann hast Du:
f(0) = √2*√2 = 2

Also vermute ich doch mal eher, dass das "c" doch mit unter die Wurzel gehört und c = - 2 gilt.

Dann erhalten wir als Funktion
y = f(x) = 1/2 √(16 - 2x)

Probe:
f(8) = 1/2 √(16 - 2*8) = 0
f(0) = 1/2 √(16) = 2

Dann wäre also a = 1/2 und c (mit unter der Wurzel) = - 2

Das Bild der Funktion sieht dann so aus:
http://www.bilder-hochladen.net/files/9aqw-ad-0041.jpg
@Nacho
Ergänzung

Und jetzt zum Rotationskörper.
Es gelte y = f(x) = 1/2 √(16 - 2x)

Dann ist y² = 1/4 (16 - 2x)

Und nun brauchst Du das Integral pi* ∫ 1/4(16 - 2x) dx in den Grenzen von 0 bis 8
= pi/4  ∫ (16 - 2x) dx

Den Rest schaffst Du sicher selber
Und davon dann 70%, also das Ergebnis mal 0,7 nehmen.

Rotationskörper-Volumensberechnung?

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