Suche bestimmte Funktion?

Question

Hallo zusammen,
ich brauche eine Funktion, für die gilt:
f(0) = 100
f(500000) = 0

Außerdem sollte sie aussehen wie eine "nach rechts gekippte Parabel", also sollte die Ableitung der Funktion streng monoton fallend zwischen 0 und 500000 sein.

Danke im voraus!

Andy · Accepted Answer

Hallo Deniz!

Ja, die Werte f(0) = 100 und f(500.000) = 0 kenne ich doch.

Also x = 0 soll also definiert sein?
Eine "nach rechts gekippte Parabel" soll den y-Achsenabschnitt bei 100 und eine Nullstelle bei x = 500.000 besitzen, monoton fallend zwischen 0 und 500.000 und wieder monoton steigend ab 500.000 ?
Vielleicht so? 
Plot
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-sqrt%282%29%2F5+*+x^%281%2F2%29+%2B+1%2F5000*x+%2B+100%2C+x%3D0..1000000
Zweite Plot ist dieselbe Funktion 
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-sqrt%282%29%2F5+*+x^%281%2F2%29+%2B+1%2F5000*x+%2B+100

f(x) = a√x + bx + 100
f(0) = 100, ok
An der Stelle x = 500.000 soll f(500.000) = 0 sein. Also

0 = a√(500.000) + b(500.000) + 100

Und zweitens soll die Funktion f an der Nullstelle einen Tiefpunkt besitzen.
f'(x) = a*1/(2√x) + b = 0
f'(500.000) = a*1/(2*√500.000) + b = 0 
 
Diese beiden Gleichungen
0 = a√(500.000) + b(500.000) + 100 
0 = a*1/(2*√500.000) + b

nach a und b lösen
 Parameter a und b
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+a*sqrt%28500000%29+%2B+b*500000+%2B+100+%3D+0+AND+1%2F2*+a*%28500000%29^%28-1%2F2%29+%2B+b+%3D+0

Wie Du siehst, hat die Funktion 
f(x) = a√x + bx + 100
f(x) = -2/(√5) * √x + 1/5000 + 100

die geforderte Nullstelle,
http://www.wolframalpha.com/input/?i=-sqrt%282%29%2F5+*+x^%281%2F2%29+%2B+1%2F5000*x+%2B+100+%3D0

den y-Achsenabschnitt = 100, usw....
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-sqrt%282%29%2F5+*+x^%281%2F2%29+%2B+1%2F5000*x+%2B+100
Falls Dir noch andere Bedingungen einfallen, kannst Du ja noch einmal nachfragen.

Gruß

Nachtrag:
@Hallo Wurzelgnom!
Meiner Meinung nach, meint Deniz mit "nach rechts gekippten Parabel", dass sie zwar ihren vermeintlichen "Scheitelpunkt" an ihrer Nullstelle x = 500.000 besitzt, aber der rechte "Parabelast" etwas flacher in der Steigung als der "linke Parabelast" sein soll.
Dein Vorschlag ...y = f(x) = 0,1 * wurzel(1000.000 - 2x)
hingegen ist eine völlig "nach links gekippte Parabel" ... schon umgefallen (nach links)... mit "Scheitelpunkt" x = 500.000: Ich denke, das war so nicht gemeint.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+++0.1+*+sqrt%281000000+-+2x%29%2C+x+%3D+0..500000

Gruß

Raskolnikov · Answer

Also wenn du noch Interesse hast, melde dich mal bei mir, ich hab da so eine "Funktion". Du weiÃt schon, was ich meine...

Keep it real!

Wurzelgnom · Answer

Hallo, Deniz, also, wenn ich Dich richtig verstehe, soll das der obere Teil einer nach links geÃ¶ffneten Parabel sein. Eine nach oben oder unten geÃ¶ffnete Parabel ist eine quadratische Funktion. Eine nach links oder rechts geÃ¶ffnete Parabel wÃ¤re die zugehÃ¶rige Umkehrrelation. als Funktion brauchen wir nur einen Ast davon. Das wÃ¤re in diesem Fall so etwas wie y = wurzel x bzw. y = wurzel( - x), wo x /= 0 definiert, also fÃ¼rx

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