Wie muss man bei dieser Funktion die Parameter wählen, damit die Funktion streng monoton fällt?

Question

.........x² - a
f(x)= -----------
........e^(x-b)


Ich hab zwar die Lösung, komme aber nicht auf den Lösungsweg. Wer kann mir bitte helfen?

Anonym · Accepted Answer

Die von Dir genannte Lösung hat den folgenden Graphen:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D%28x%C2%B2+%2B+1%29+%2F+e^%28x-b%29

Die 1. Ableitung lautet (a-(x-2)x) * e^(b-x) 
und muß überall < 0 sein (streng monoton fallend)

Der Faktor e^(b-x) ist für alle b und alle x positiv, bleibt:

(a-(x-2)x) < 0

a < (x-2)x für alle x

(x-2)x hat ein globales Minimum von (-1) bei x = 1

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-2%29x

also a < -1 !

Das macht auch Sinn, denn der Graph bleibt für a = - 100 auch monoton fallend:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D%28x%C2%B2+%2B+100%29+%2F+e^%28x-b%29

und für a = - 10000 ebenfalls:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D%28x%C2%B2+%2B+10000%29+%2F+e^%28x-b%29

und für a = - 2 natürlich auch:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D%28x%C2%B2+%2B+2%29+%2F+e%5E%28x-b%29

Meine Lösung lautet daher: 
b ist beliebig, und a < -1

Wurzelgnom · Answer

Wenn die erste Ableitung negativ ist, ist die Funktion streng monoton fallend.

f(x) = (x² - a)/e^ (x - b)

f ' (x) = (2x - x² + a)/ e^ (x - b) < 0 für

x² - 2x - a > 0

(x² - 2x + 1) - (a + 1) > 0

(x - 1)² - (a + 1) > 0

@Korrektur:

Natürlich war ich vorhin unaufmerksam.

Bis hierher ist alles korrekt:

f '(x) < 0 <=>

(x - 1)² - (a+1) > 0

Also für a ≦ - 1

(Dass b beliebig gewählt werden kann, sieht man ja bereits in Zeile 3, da es nur im Exponenten auftritt und damit keinen Einfluss auf das Vorzeichen hat)

@Gaston

Auch wenn die Ableitung an einer Stelle gleich 0 ist (hier ausschließlich für x = 1), ist die Funktion streng monoton .

Also gehört a = - 1 ebenfalls dazu

Hier die Skizze für a = - 1 (b = - 1)

http://www.bilder-hochladen.net/files/big/9aqw-aa-...

Wie muss man bei dieser Funktion die Parameter wählen, damit die Funktion streng monoton fällt?

2 Antworten