Wie rechnet man eine Gleichung einer Tangente an einem Graphen an der Stelle x0?

Question

Hi, ich bin's. Und wenn ich es nicht bin, nennt mich verzweifelt. (Naja, so schlimm ist es wiederum auch nicht.)
Ich versteh einfach nicht was ich rechnen soll, da wir es, ich schwöre, wirklich noch nicht durchgenommen haben.

Die Aufgabe lautet wie die Überschrift: "Ermittle die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle x0=1."

f(x) = -1/2x² + 2; x0=1

Über der Aufgabe schwebt die Formel y= - 1/f' (x0) * (x - x0) + f(x0) sollte ich vllt auch noch mal sagen.
Ich vermute mal sie soll mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen..aha..und gerade merke ich auch, dass das -1/2 der erste Teil ist "- 1/f' (x0)" , der zweite x² "* (x - x0)" sein soll und das letzte die +2 der Teil "f(x0)" sein müsste. Müsste ich dann logischerweise nicht überall wo x0 steht die 1 einfügen? Mann, dann bin ich ja doch ein Genie. :D Aber wie stell ich das jetzt nur an.
Aber vielleicht bin ich auch auf dem vollkommenden Holzweg weil es scheint mir ein bisschen zu einfach zu sein , einfach eine Zahl einzufügen und zu rechnen. xD

Okaay. Ich freue mich schon auf die vielen aufklärenden Antworten. ;)

Judy · Accepted Answer

Die Tangente in xo hat die gleiche Steigung wie der Graph von f(x) an der Stelle x0.
f '(x) = -1/2 * 2x  = - x
Die Steigung ist also f'(x0) = f '(1) = - 1

Die Tangente ist eine Gerade und damit von der allgemeinen Form t(x) = mx + n.
Dabei ist m die Steigung, die oben schon bestimmt wurde (m=-1), also t(x) = - x + n

Das n kannst du nun noch bestimmen, indem du irgendeinen bekannten Punkt der Tangente einsetzt.(man hat den Punkt P(xo|f(xo)) = P(1|f(1)) = P(1 | 3/2), denn in dem Berührpunkt ist ja f(xo) = t(xo)).
t(1) = f(1) = 3/2 = -1 + n
nach n auflösen ==> n = 3/2 + 1 = 5/2
also t(x) = -x + 5/2

Andy · Answer

Hallo Minnie!


Kann es sein, dass Du die Formel falsch abgeschrieben hast?

Die Tangentengleichung kannst Du mit dieser Formel bestimmen:

Tangente(x) = y = f'(x0) * (x - x0) + f(x0)

Werte einsetzen und ausrechnen/bzw. vereinfachen.


f'(x0) <-- das ist die erste Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 = 1

Und das ist Deine gegebene Funktion
f(x) =  -1/2xÂ² + 2
also erst ableiten => f'(x) = -1/2 * 2*x + 0 = -x
und nun f'(x0) = ... bestimmen, x0 = 1 in f' einsetzen 

========== 
Tangente(x) = y = f'(x0) * (x - x0) + f(x0)

x0 = 1 ......................... <--- Stelle, um die es hier geht
f'(x0) = -x0 = f'(1) = -1 <------ = m die Steigung ist gleich -1 an der Stelle x0 

f(x0) = -1/2 * x0Â² + 2 = -1/2 * 1Â² + 2 = 3/2 <----- Funktionswert an der Stelle x0

und nun diese drei Werte in die Formel einsetzen:

Tangente(x) = y = f'(x0) * (x - x0) + f(x0)
................... ..y = (-1) * (x - 1) ....+ 3/2........ Klammern ausmultiplizieren
............ .........y = -x + 1 ..............+ 3/2 .... ...Zahlen zusammenfassen 
..................... y = - x + 5/2 ......................... Fertig!

===========

Ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen. Hier hast Du noch ein Bildchen mit der Parabel f(x) = -1/2 xÂ² + 2 und der Geraden/Tangente, die die Parabel an der Stelle x0 = 1 berÃ¼hrt (/tangiert). 
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+-1%2F2+x%C2%B2+%2B+2+%2C+-x+%2B+5%2F2



GruÃ

Wie rechnet man eine Gleichung einer Tangente an einem Graphen an der Stelle x0?

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