Frage zum Gauß - Algorithmus bei 4 Variablen?

Question

Hallo, 
ich verstehe den o.g. Algorithmus bei 3 Varaiblen problemlos, also wenn ich eine Matrix der Form 

a  b  c  | d
e  f  g   | h
i   j  k   | l

habe, muss ich sie in die treppenform bringen

a  b  c  | d
0  f   g  | h
0  0  k  | j

Dann kann ich einfach die Funktionsvariablen a, b und c berechnen. 

Wenn ich jedoch eine 4 x 4 Matrix habe, wird in allen Videos eine Form von 
 1     0     0     0   |  a
 0     1     0     0   |  b
 0     0     1     0   |  c
 0     0     0     1   |  d
 verlangt. 

Meine Aufgabe habe ich soweit auf die 1. Stufenform bekommen, doch wie kann ich jetzt weiter eleminieren?

16  -8  -4  -2  | 12
48  12  2   0  | 0
-36  6   0   0  | 0
1     0   0   0  | 1

Vielen Dank :D

Anonym · Accepted Answer

Die Treppenform ginge auch, nur ist es mit der Einheitsmatrix-form angenehmer, weil man so direkt die Werte ablesen kann.

Der Tipp den du zum Lösen des LGS brauchst ist dass du einfach deine Gleichungen vertauschen solltest. Ausgehend von:

16 -8 -4 -2 | 12
48 12 2 0 | 0
-36 6 0 0 | 0
1 0 0 0 | 1

Kannst du ja die erste und vierte Gleichung vertauschen, dann erhältst du:
1 0 0 0 | 1
48 12 2 0 | 0
-36 6 0 0 | 0
16 -8 -4 -2 | 12

Wenn du jetzt noch Gleichung 2 und 3 vertauschst kommt heraus:
1 0 0 0 | 1
-36 6 0 0 | 0
48 12 2 0 | 0
16 -8 -4 -2 | 12

Damit hast du nichts getan, was dein Gleichungssystem verletzt - prinzipiell kannst du auch die Spalten vertauschen, musst aber darauf achten, dass du die zugehörige Variable mit vertauschst, also beispielsweise du hast ein LGS:

2 3 | 4
4 5 | -2  
mit den Variablen x y (also 2x + 3y = 4 und 4x + 5y = -2). Dann kannst du das auch einfach vertauschen gemäß:
3 2 | 4
5 4 | -2  
Jetzt musst du noch die Variable entsprechend vertauschen (also 3y + 2x = 4; 5y + 4x = -2).
Das ist einfach nur eine Anwendung des Kommutativgesetzes.

Nun wieder zurück zum Hauptthema - nach geschicktem Vertauschen hast du ja das LGS
1 0 0 0 | 1
-36 6 0 0 | 0
48 12 2 0 | 0
16 -8 -4 -2 | 12
 mit diesem sollte es also kein Problem sein, die Lösungen herauszufinden, da du ja gesagt hast, dass du das hinkriegst.

Aus diesem Grund mache ich jetzt nicht jeden einzelnen Schritt, sondern gebe dir als Hilfe jetzt nur noch die Finalform an, in der man die Lösungen ablesen kann:

1 0 0 0 | 1                          
-36 6 0 0 | 0           
48 12 2 0 | 0                       
16 -8 -4 -2 | 12

~
1 0 0 0 | 1
0 1 0 0 | 6
0 0 1 0 | -60
0 0 0 1| 98
Deine Lösungsmenge lautet also L = {1;6;-60;98}
-----------------------------------------------------------------------

Edit: es hilft dir einfach deshalb, da du dann direkt einige Nullen an die richtige Stelle setzt und damit mehrere Rechenschritte einsparst. Bei einem 4x4-LGS bin ich für jeden gesparten Rechenschritt dankbar, da sich schnell durch stupides Herunterrasseln die ganzen Flüchtigkeitsfehler anhäufen.

Und um auf die Finalform zu kommen musst du halt die gewöhnlichen Schritte durchführen - du hast ja gesagt, dass du die ersten Schritte schon durchgeführt hast, also musst du das Prinzip ja können. Ich werde dir einen Schritt jetzt nochmal hier zeigen, den Rest kriegst du dann auch hin:

I:       (1 0 0 0 | 1)                         
II:     (-36 6 0 0 | 0)             => 36*I + II
III:    (48 12 2 0 | 0)            => 48*I - III           
IV:  (16 -8 -4 -2 | 12)          => 16*I - IV

V:      1  0  0  0 | 1
VI:     0  6  0  0 | 36    | :6, damit du auf die 1 kommst
VII:    0  -12 -2  | 48
VIII:   0  8  4  2 | 4

Prinzip weiterführen bis zur endgültigen Einheitsmatrix-Form.

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