kann mir jemand mit Ableitungen/Funktionen helfen ? -.-?

Question

ich versteh diese Formel hier nicht : f (x) - f (xo) : x - xo
kann mir jemand erklären wann und wie genau man diese Formel benutzen muss ?
und wie kann ich zum Beispiel diese Aufgabe hier lösen :

f (x) = wurzel aus 25 - x²  |x| kleiner gleich 5
Bestimme die Ableitung an der Stelle xo = 2

ich wäre wirklcih froh wenn mir einer helfen könnte ...

Wurzelgnom · Accepted Answer

Hallo, LALALA, ich versuch's mal:

Was Du hingeschrieben hast, ist zunächst mal der allgemeine Differenzenquotient.
im Zähler steht die Differenz der Funktionswerte,
im Nenner die Differenz der Argumente

f(x) = √(25 - x²)
Das ist die Gleichung eines Halbkreises mit dem Radius r = 5

Die Differenz der Funktionswerte ist y - yo = √(25 - x²) - √(25 - xo²)

Du sollst das für xo = 2 machen, also
√(25 - x²) - √25 - 4) = √(25 - x²) - √21

Im Nenner steht die Differenz der Argumente x - xo, also x - 2

Dann ist der Differenzenquotient:
√(25 - x²) - √21
---------------------
x - 2


Jetzt erweiterst Du den Bruch mit
√(25 - x²) + √21 und erhältst:

[√(25 - x²) - √21]*[√(25 - x²) + √21]
--------- ----------------- ------------ ---------
(x - 2) [ √(25 - x²) + √21]

Im Zähler wendest Du die 3. Binomische Formel an:

25 - x² - 21
--------------- ---------- --------- =
(x - 2) [ √(25 - x²) + √21]


4 - x²
--------- ------------ ------------- =
(x - 2) [ √(25 - x²) + √21

Jetzt im Zähler wieder die 3. Binomische Formel anwenden:

(2 + x)(2 - x)
------------------ ------ ----- --- =
(x - 2) [ √(25 - x²) + √21


Jetzt kann man (x - 2) = - ( 2 - x) kürzen

- ( 2 + x)
----------- -------- ---- 
√(25 - x²) + √21

Und nun kannst Du x gegen 2 streben lassen und erhältst den differenzialquotienten
- ( 2 + 2)
------- -------- --- ---- =
√(25 - 4) + √21

- 4
--------- = - 2/ √21
2√21

kann mir jemand mit Ableitungen/Funktionen helfen ? -.-?

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