EU-Führerschein Klasse B umschreiben?Pflicht?

Guten Abend,

Ich 24 Jahre bin vor 8 Monaten nach Italien gezogen, und habe mich von der Stadt Köln/Anwohnermeldeamt abgemeldet und habe denen mitgeteilt das ich nach Italien ziehen werde.

Da ich noch keinen Führerschein hatte, habe ich Ihn vor 2 Wochen hier in Italien erworben indem ich die prüfung bestanden habe. Jetzt ist meine Frage, da ich in den nächsten 2-3 Monaten gerne wieder nach Köln ziehen würde, wollte ich von euch wissen, ob jemand bescheid weiss wie das funktioniert ob der Führerschein umgeschrieben werden MUSS und ob er annerkant wird . Ich denke ja nicht das die mich verpflichten werden nochmal die Theoretische prüfung zu hinterlegen. Ich habe definitiv vor in Köln zu wohnen und auch zu bleiben.

Wollte nur nochmal sagen das ich zwar seid 8 Monaten hier bei meinen eltern wohne ich mich aber erst seid 1 Monat hier angemeldet habe weil die Fahrschule mir mitgeteilt hat das ich mich unbedingt anmelden muss sonst kann ich den Führerschein nicht beziehen und das wusste ich vorher nicht. Könnte Deutschland(Köln) Probleme machen ?

Ich würde mich echt freuen, mehrere hilfreiche Antworten zu erhalten.

Danke schonmal im vorraus ;-))