Wie rechnet man diese Aufgabe mit Parametern?

Question

Fällt ein Körper aus der Ruhe in ein zähflüssiges Medium, so lässt sich seine Geschwindigkeit v beschreiben durch v(t) = a * (1 - e^(-bt) )
[t in s; v in m/s mit a; b>0]
Es wird für einen Körper gemessen, dass er nach einer Sekunde eine Geschwindigkeit von 0,75 m/s und nach zwei Sekunden eine Geschwindigkeit von 0,78 m/s hat.

a) Bestimme die Parameter a und b.
b) Wie lange dauert es, bis er die halbe Grenzgeschwindigkeit erreicht hat?

Ich hab zwar die Lösungen, aber ich komme nicht auf den Rechenweg. Wer kann mir bitte helfen?

Anonym · Accepted Answer

Du hast doch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten - also stellst du erstmal beide Gleichungen auf:

1: v(t=1s) = 0,75 m/s = a*[1 - exp (-b)]
2: v(t=2s) = 0,78 m/s = a*[1 - exp (-2b)]

Jetzt kannst du einfach das ganze Problem beispielsweise mit dem Gleichsetzungsverfahren lösen.
Lösen wir also 1 mal nach a auf:
a = 0,75/(1 - exp(-b)) m/s             
(ist zwar jetzt unschön mit der 0,75 im Bruch, aber das ist einfacher für das Kürzen nachher)
Diese setzen wir jetzt in Gleichung 2 ein:
0,78 m/s = 0,75*   [ (1 - exp (-2b)) / (1 - exp(-b))] = 0,75 * (1 + exp(-b))

Nun einfach nach b auflösen:
0,78/0,75 = 1,04 = 1 + exp (-b)
<=> ln (0,04) = - b 
=> b = 3,22 1/s (gerundet)
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Damit gehst du jetzt in eine beliebige Gleichung oben - ich wähle die Gleich a = 0,75/(1 - exp(-b)) m/s
also a = 3 / [4*(1 - exp ( - 3,22))] m/s
a = 0,78 m/s
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Also ist v(t) = 0,78 * [1 - exp(-3,22*[1/s]*t)] m/s
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Die Faktoren können noch ein wenig an Genauigkeit gewinnen, wenn du mehr relevante Ziffern nutzt, aber ich denke die Werte sind im Rahmen.

Hoffe konnte helfen.

Wie rechnet man diese Aufgabe mit Parametern?

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