Nur Überprüfen ob es richtig ist!! Wachstum und Differenzialgleichung?

Question

Folgende Aufgabe:saft mit einer temperatur von 20°c wird bei -5°c außentemperatur auf den balkon gestellt. nach einer viertelstunde ist die safttemperatur auf 5°c abgesunken. stellen sie eine differenzialgleichung für die safttemperatur auf. wann ist die safttemperatur auf 0°c abgesunken ( der saft beginnt dann zu gefrieren, newtons gesetz gilt nicht mehr ) ?


Also die Differenzialgleichung sieht so aus
k(-5-f(x)) und jetzt schreibe ich um:

-5-25e^-kx und setze den punkt ein 15 min und 5 C°
also:
-5-25e^-15k=5
für k bekommt man dann -0,036
und die formel lautet:
-5+25e^-0,036x und bei x=44 ist y=0
meine frage ist jetzt: Meine Lösung ist doch eigentlich keine Differenzialgleichung also was wollen die in der Aufgabenstellung von mir?
Was muss ich anders machen?
Vielen dank!^^

Andy · Accepted Answer

Hallo Anditec!

Ja, ich habe Deine nachfolgende Aufgabe gefunden und ich hoffe, ich kann Dir damit wieder weiterhelfen:

"... .... die Differenzialgleichung sieht so aus

k(-5-f(x)) und jetzt schreibe ich um:..................................."

"................-5-25e^-kx und setze den punkt ein 15 min und 5 C°

also:

-5-25e^-15k=5 ................................................................................ ........"

Ich gehe mal davon aus, dass Du Dich hier verschrieben hast und es

eigentlich so sein müsste:

-5 + 25 * e^(-15k) = 5

Also +25

(Denn, wenn es -25 , dann kommt für k eine komplexe Zahl heraus.)

Wenn Du diese Gleichung

-5 + 25 * e^(-15k) = 5

nach k löst, dann erhält man ungefähr

k ≈ 0,061........ siehe unter "Real solution" und klicke auf "Approximate form"

exakte Lösung von

k = 1/15 * (ln 5 - ln 2)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=-5%2B25*e^%28...

Lösungsweg:

-5 + 25 * e^(-15k) = 5

<=> 25 * e^(-15k) = 10

<=> e^(-15k) = 2/5

<=> -15k = ln 2 - ln 5

<=> 15k = - ln 2 + ln 5

<=> k = 1/15 * (ln 5 - ln 2) ≈ 0,061

und die Formel lautet dann:

f(x) = -5 + 25e^(-0,061x)

für x = 0 => f(0) = - 5 + 25e^(-0,061*0)

<=> f(0) = -5 + 25 * 1 = 20 <--- Anfangswert

Das ist natürlich korrekt.

Man sollte stets alle Werte nochmal einsetzen:

f(15) = -5 + 25e^(-0,061 * 15) ≈ 5

x = 15 min

y = f(x) = 5°

http://www.wolframalpha.com/input/?i=-5+%2B+25e^%2...

auch richtig!

Und ungefähr bei x ≈ 26 ist y=0

0 = -5 + 25e^(-0,061x)

<=> x ≈ 26,3842

http://www.wolframalpha.com/input/?i=0+%3D+-5+%2B+...

(Also, nach insgesamt ca. 26 Minuten hat sich der Saft auf 0° abgekühlt.

Ist etwas plausibler als nach 44 Minuten. Aber linear , also jede Minute ein Grad,

nach 20 Minuten ?!; geht nun gar nicht! )

Lösungsweg (wie oben),

aber Du bist ja von 0,036 ausgegangen,

-5+25e^-0,036x und bei x=44 ist y=0

deswegen hast Du x = 44 herausbekommen.

----------------------------------

Die Differentialgleichung

f'(x) = k*(-5 - f(x))

f'(x) = 0,061* (-5 - f(x))

--------------------------------

mit f(x) = -5 + 25e^(-0,061x)

=> f'(x) = -1,525e^(-0,061x)

Denn es gilt:

...... .................... ....f(x) = -5 + 25e^(-0,061x) ..............

f(x) auf die rechte Seite und

............................................... 25e^(-0,061x) auf die linke Seite bringen

....................... .......f(x) = -5 + 25e^(-0,061x) ..............

<=> .... -25e^(-0,061x) = -5 - f(x)

................................................... auf beiden Seiten 0,061 multiplizieren

<=> -1,525e^(-0,061x) = 0,061*(-5 - f(x))

<=> ............ f'(x) .........= 0,061*(-5 - f(x)) <----- DGL (1.Ordnung)

Ich denke, so funktioniert Deine Aufgabe.

Gruß

Stephi · Answer

Ich versteh leider absolut nicht was du da gemacht hast.

Also: Anfangswert ist 20
Sinkt pro Minute um ein Grad

Also:

f(x)= 20 * -1 ^ x

Wenn du jetzt auf 0 kommen wilst

0 = 20 * -1 ^ x

Und die Gleichung ist eine Differenzialgleichung. Auch deine waere eine.

Nur Überprüfen ob es richtig ist!! Wachstum und Differenzialgleichung?

2 Antworten