Differentialgleichung bei Wachstum?

Question

kann mir jemand diese Umformung erklären für mich ist sie einfach nur unsinnig.

also Aufgabe ist geben sie zu der Funktion f(X) =10-6e^-0,05x eine differenzialgleichung an.
bei beschränktem wachstum ist die differentialgleichung ja eigentlich schon vordefiniert mit f´(x)=k(S-f(x))
ich würde da jetzt einfach einsetzen im buch machen die aber folgendes mit der begründung dass die gegebene differenzialgleichung so umgefortm werden muss das ein Zusammenhang zwischen f(x) und f´(x) entsteht. Folgendes habe ich einfach mal so abgeschrieben wie es im Buch steht:

f´(x)= 0,3e^-0,05x
10- f(x)= 6e^-0,05x / *0,05( denn 6 *0,05 =3)
0,05(10-f(x))=0,3e^-0,05x = f´(x)
f´(x)=0,05(10-f(x))

wenn ich einfach einsetze kommt ja das gleiche raus also warum machen die das?

Andy · Accepted Answer

Hallo Anditec!

Im Buch wird diese 'vordefinierte' Formel, Differentialgleichung hergeleitet, begründet.

Wenn Du beispielsweise eine quadratische Gleichung lösen sollst.

x² + 2x + 1 = 0

Die Lösung ist x = -1, denn nach den binomischen Formeln (, die sind ja auch nicht vordefiniert) gilt

(x + 1)² = 0 <=> x = -1

(Denn wenn man also für a = x und b = 1 einsetzt, erhält man tatsächlich

(a + b)² = a² + 2ab + b² = (x + 1)² = x² + 2x + 1 = 0 )

Anders, wenn Du von dieser Gleichung durch geeignete Äuivalenzumformungen

x² + 2x + 1 = 0

.....

<=> x² + x + x + 1 = 0 ........... x ausklammern

<=> x * (x + 1) + x + 1 = 0 .....

<=> x * (x + 1) + (x + 1) = 0 ...... (x + 1) ausklammern

<=> (x + 1) * (x + 1) = 0

....

zu dieser Gleichung kommst

(x + 1)² = 0

Und genau das ist in Deinem Buch vorgeführt worden.

Man hat eine Funktion f(x) (eine spezielle e-Funktion) angegeben und weist nach, ( weil dieser Zusammenhang zwischen dieser e-Funktion und ihrer ersten Ableitung besteht) , dass f'(x) = 0,05*(10 - f(x)) gilt

Natürlich kannst Du direkt in die 'Formel' einsetzen. Damit kannst Du dann überprüfen, ob Deine Äquivalenzumformungen/ bzw. Deine Folgerungen stimmen.

geg.:

f(x) = 10 - 6e^(-0,05x)

....

=> da die 1.Ableitung ....f'(x) = 0,3e^(-0,05x).....ist, gilt:

Es steckt in der 1.Ableitung die Funktion f(x) schon drin

........................... .........= 0,3e^(-0,05x) = f'(x)....

Jetzt will man auf diese Ableitung (rechte Seite) kommen;

aber! ausgehend von der Funktion f(x)

f(x) = .......................10 - 6e^(-0,05x)

10 - (10 - 6e^(-0,05x)) = 6e^(-0,05x)

10 - .........f(x) ............ = 6e^(-0,05x)

Um jetzt auf die 1.Ableitung auf der rechten Seite zu kommen,

........................... .........= 0,3e^(-0,05x)....

......................... ........= 0,3e^(-0,05x) = .......?... * 6e^(-0,05x)

muss man 0,05 auf beiden Seiten multiplizieren, denn 6 * 0,05 = 0,3

0,05* (10 - ..f(x) .........) = 0,05 * (6e^(-0,05x))

0,05* (10 - ..f(x) .........) = 0,05*6* e^(-0,05x)

0,05* (10 - ..f(x) .........) = 0,3 * e^(-0,05x)

0,05 * (10 - f(x)..........) = f'(x) .................................... et voilà!

ges.: Differentialgleichung (1.Ordnung), das ist eine Gleichung, in der f'(x); f(x) ; x stehen kann

=> f'(x) = 0,05 * (10 - f(x))

Normalerweise ist eine Differentialgleichung gegeben und man sucht die Lösungen.

In Deinem Fall ist es umgekehrt: Du hast eine Funktion f gegeben und man soll eine Differentialgleichung angeben, die ausgehend von der Funktion durch geeignete Äquivalenzumformungen hergeleitet wird. Mehr steckt da wirklich nicht hinter.

Gruß

Differentialgleichung bei Wachstum?

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