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Sind Boolesche Algebren als Menge zu verstehen?
Wenn ich eine Boolesche Algebra A habe mit:
A=(B,0,1,+,*,-)
dann gilt ja dass jedes Element a,b,c...€ B die Axiome erfüllen (Asso,Kommu,Distri,Absorb,Idemp...)
Jetzt meine Frage:
Wie sieht denn konkret ein Element aus A aus und wie sieht eines aus B aus?
Ich denke A (als Boolesche Algebra) müsste die Menge aller Formeln sein die dargestellt werden können.
Und B denke ich sind Variablen (a,b,c...) die eben Wahrheitsbelegunen annehmen können.
Aber ich weiß es eben nicht, und definitorisch liegt mir nichts vor :\
Danke.
Antwort:
Habe es dann doch selbst rausgefunden (falls wen interessiert)
B ist die Menge der Satzvariablen die mit verschiedenen Belegungen Werte aus {0,1} annehmen können.
A ist die Menge der möglichen Verknüpfungen die aus B und den Junktoren gewonnen werden, so gibt es also die Negation jeder Satzvariable und die jeweilige Potenzmenge, also ergibt sich im Allgemeinen die Mächtigkeit von A durch |A|=2^2^|B|. Dann sollte A=B+Atome sein (bin mir aber nicht sicher)
In manchen Fällen entfallen aber bestimmte Elemente aus A, zbs bei einer atomlosen Algebra wie der halboffenen Intervalle der reelen Zahlen: [a,b) a,b€R
Trotzdem Danke für die Antworte(n)
1 Antwort
- carlaLv 6vor 9 JahrenBeste Antwort
A hat nicht mehrere "gleichberechtiget" Elemente sonder ist ein 6-Tupel bestehend aus einer Menge mit "Zahlen", einem in B besonders ausgezeichneten 0-Element, einem aus B stammenden 1-Element, 3 Verknüpfungen. "Und B denke ich sind Variablen (a,b,c...) die eben Wahrheitsbelegunen annehmen können" stimmt, wenn man die runden durch geschweifte Klammern ersetzt; die a, b, c, ... müssen wohlunterschieden sein.
"Ich denke A (als Boolesche Algebra) müsste die Menge aller Formeln sein die dargestellt werden können" Formal nicht, man kann aber die Auffassung vertreten dass ich der eigentlche Sinn einer Algebra in ihren "Formeln" äußert.