Problem mit Nullstellen.?

Wenn eine Funktion in x = xo eine Nullstelle hat, muss der Faktor (x - xo) in der Funktionsgleichung enthalten sein.

Geht die Funktion an dieser Stelle durch die x-Achse (Vorzeichenwechsel der Funktionswerte), so tritt dieser Faktor zu einer ungeraden Potenz auf.

Berührt die Kurve an dieser Stelle die x-Achse nur (kein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte), so tritt der Faktor zu einer geradzahligen Potenz auf.

Beispiel:

y = f(x) = (x + 3)(x - 1)(x - 3)

Diese Funktion hat drei Nullstellen, aber in x = - 3, x = 1 und x = 3 geht der Graph durch die x-Achse hindurch.

Die folgenden Funktionen haben die gleichen Nullstellen:

y = f1(x) = (x + 3)²(x - 1)(x - 3)

y = f2(x) = (x + 3)(x - 1)^4(x - 3)

y = f3(x) = (x + 3)(x - 1)(x - 3)^6

Aber bei f1 liegt in x = - 3 kein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte vor,

bei f2 in x = 1,

bei f3 in x = 3

Bei der Funktion f4 mit

y = f4(x) = (x + 3)³(x - 1)(x - 3)^5

würde überall ein Vorzeichenwechsel vorliegen.

@fifi

Das Beispiel stimmt nicht.

y = f(x) = 2x² + x = 2x(x + 1/2)

Diese Funktion hat zwei einfache Nullstellen, bei x = 0 und x = - 1/2

Du kannst als Ansatz wählen

f(x)=(x-x1) (x-x2) (x-x3)

Diese Funktion hat genau 3 Nullstellen, nämlich x1, x2 und x3. Du kannst Dich leicht davon überzeugen, da falls x gleich einer Nullstelle ist, ein Faktor = 0 ist und somit das ganze Produkt 0 ist.

Damit bei einer Nullstelle kein Vorzeichenwechsel stattfindet muss diese eine doppelte Nullstelle sein. D. h. zwei der drei Nullstellen sind gleich, die 3. verschieden. Dies ist z.B. der Fall wenn x1=x2<>x3 ist. Damit vereinfacht sich die Funktion zu

f(x) = (x-x1)² (x-x3)

Falls du gegebene Werte erfüllen musst, solltest Du von der Funktion

f(x) = a* (x-x1)² (x-x3)

verwenden und evtl. Ausmultiplizieren.

Solltest du die Vielfachheit einer Nullstelle nicht berücksichtigen, dann musst Du

f(x) = a* (x-x1)² (x-x3) (x-x4)

ansetzen, wobei x1<>x3<>x4 ist.

Zb. f(x)=2x²+x

die nullstellenanzahl siehst du immer an der anzahl der x-potenzen also hier eine einfache nullstelle bei x und eine doppelte bei (-2)

die nullstelle bei -2 hat keinen vorzeichenwechsel