Vielfachheit von Nullstellen bestimmen!?

Hallo!

Ich gehe mal davon aus, dass Du eine Schülerin aus der Oberstufe bist.

Auch wenn Du KNs Antwort nicht so ganz verstanden hast: Der erste Satz ist so grundlegend in der Mathematik, dass man ihn den "Fundamentalsatz der Algebra" nennt und natürlich auch Schülern in der Oberstufe vermittelt wird. Diesen sollst Du mit Sicherheit für Deine beiden Polynom-Funktionen anwenden.

Deswegen führ ich Dir das kurz vor:

"Fundamentalsatz der Algebra" (FdA)

Ein Polynom 1.Grades kann HÖCHSTENS 1 reelle Nullstelle besitzen.

Ein Polynom 2.Grades kann HÖCHSTENS 2 reelle Nullstellen besitzen.

Ein Polynom 3.Grades kann HÖCHSTENS 3 reelle Nullstellen besitzen.

usw.

Ein Polynom n.Grades kann HÖCHSTENS n reelle Nullstellen besitzen.

(n = 4, 5, 6, 7, 8, usw....)

Das erste Polynom f(x)=x²-x-6 hat den Grad zwei (; der Grad ist der höchste Exponent --->x² ).

Jede quadratische Funktion (f(x) = ax² + bx + c) nennt man auch Polynom 2.Grades.

Und damit gibt es auch höchstens zwei reelle Nullstellen (NS) für die quadratische Funktion (Parabel).

Beispiel:

f(x) = 3x⁵ - x³ + 5x² + x - 45 <-- Polynom 5.Grades, da der Exponent die 5 in 3x⁵ der höchste Exponent ist, und mit dem FdA gibt es dann auch höchstens 5 reelle Nullstellen.

Oder Deine zweite Polynom-Funktion

f(x)=x³+1,5x²-2,25x <-- Poynom 3.Grades (, da x³ <-- 3 der höchste Exponent )

=> Höchstens 3 reelle Nullstellen.

Da Du für Deine erste Polynom-Funktion f(x)=x²-x-6 zwei v e r s c h i e d e n e Nullstellen gefunden hast und es ja nur höchstens zwei geben kann (Grad 2), sind diese beiden Nullstellen "einfach" <-- sie treten EINMAL jeweils verschieden auf (damit keine Doppelten, oder keine Dreifachen, usw....).

Es gibt zwei "einfache" NS.

Da Du für f(x)=x³+1,5x²-2,25x drei v e r s c h i e d e n e Nullstellen gefunden hast und es (nach FdA) höchstens drei geben kann (Grad 3, also wieder drei einfache) , bist Du fertig mit der Aufgabe. Es gibt drei "einfache" NS.

Ok, jetzt hast Du kein Beispiel gebracht, in dem es doppelte oder dreifache, (usw. n-fache) Nullstellen gegeben hat.

Mein Beispiel: Polynom 3.Grades, in dem man nur 2 verschiedene reelle NS finden wird:

f(x) = = x³ - 6x² + 9x <-- Polynom 3.Grades

f(x) = 0 = x³ - 6x² + 9x

x ausklammern

<=> 0 = x * (x² - 6x + 9) <-- Das ist ein Produkt = 1.Faktor (hier:x) mal 2.Faktor(hier: x²-6x+9 )

Ist das Produkt = 0, genau dann ist ein Faktor =Null (Produktsatz), also

<=> 0 = x oder 0 = (x² - 6x + 9) = (x - 3)² binomische Formel

<=> 0 = x oder 0 = (x - 3)²

<=> 0 = x oder 0 = (x - 3)*(x - 3) <--- wieder ein Produkt mit zwei Faktoren

<=> 0 = x oder 0 = (x - 3) oder 0 = (x - 3)

<=> 0 = x oder x = 3 oder x = 3

Es gibt zwar zwei verschiedene NS (hier: x = 0 oder x = 3)

aber x = 0 kommt nur EINMAL vor und x = 3 kommt ZWEIMAL vor, also ist

x = 0 eine "einfache" NS und x = 3 eine "doppelte" NS

Es gibt die Möglickeit die Vielfachheit der NS über die Ableitungen zu ermitteln. Ich weiß jetzt natürlich nicht, ob Ihr das im Unterricht behandelt habt. Ich gebe Dir die Wikipedia-Seite mal an und das Beispiel dort:

".... f(x) = x³ - 3x² + 3x -1

mit den Ableitungen

f'(x) = 3x² - 6x + 3

f''(x) = 6x - 6

f'''(x) = 6.

Es gilt f(1) = 1 − 3 + 3 − 1 = 0, also ist x0 = 1 eine Nullstelle von f. Weiter gilt

f'(1) = 3-6+3 = 0

f''(1) = 6 - 6 = 0

aber f'''(1) = 6 ist nicht =0

Somit ist 1 eine dreifache aber keine vierfache Nullstelle von f, also eine Nullstelle der Vielfachheit 3..."

http://de.wikipedia.org/wiki/Nullstelle#Mehrfache_...

http://de.wikipedia.org/wiki/Nullstelle#Beispiel_2

Falls Du Fragen hast, nur zu...

Gruß

Nachtrag:

Mein Beispiel über die Ableitungen

f(x) = = x³ - 6x² + 9x = 0

<=> x = 0 oder x = 3

f'(x) = 3x² - 12x + 9

f''(x) = 6x - 12

f'''(x) = 6

Für die NS x = 0

f'(0) = 3*0² - 12*0 + 9 = 9 ist nicht = 0

Also ist die NS x=0 eine "einfache".

Für NS x = 3

f'(3) = 3*3² - 12*3 + 9 = 0, ja

f''(3) = 6*3 - 12 ist nicht = 0

Also ist NS x = 3 eine "doppelte"

1)

y = x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2)

Der Faktor (x - 3) tritt nur einmal auf; x = 3 ist eine einfache Nullstelle.

Der Faktor (x + 2) tritt ebenfalls nur einmal auf, x = - 2 ist auch eine einfache Nullstelle.

2)

y = x³ + 3/2 x² - 9/4 x = x(x² + 3/2 x - 9/4) = x( x *+ 3/4 - 3/4*√5)*(x + 3/4 + 3/4*√5)

Alle Faktoren treten nur einfach auf, alle Nullstellen sind einfache.

Anders wäre es bei:

y = f(x) = x³ + 2x² + x

Hier zerlegen wir:

y = f(x) = x(x² + 2x + 1) = x(x + 1)²

x tritt einfach auf, bei x = 0 liegt eine einfache Nullstelle vor.

Der Faktor (x + 1) tritt zweimal auf, bei x = - 1 liegt eine doppelte Nullstelle vor.

@Das geht so nicht SH DAF

Wenn Dich diese Beispiele noch nicht überzeugen, bitte noch mal nachfragen; ich melde mich dann in ein paar Stunden noch mal.

Dazu gibt es bereits einen Beitrag bei Clever, sehe ihn dir doch mal an.