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Question

Gegeben ist der Würfel ABCDEFGH mit D(0/0/0) und B(6/6/0). Bestimmen Sie den Abstand des Schnittpunktes S der Geraden durch B und H sowie der Geraden durch A und G mit den Eckpunkten des Würfels.

Mein größtes Problem ist. herauszufinden welche Koordinaten der besagte Schnittpunkt hat?

Danke euch schonmal im vorraus :)

matherwig · Accepted Answer

Die Angabe ist eigentlich unvollständig, denn die Punkte D und B geben nur eine Flächendiagonale an, um die der Würfel rotieren könnte, das bedeutet unendlich viele Lösungen.

Ich nehme daher an, dass die Grundfläche in der xy-Ebene liegt.
Daraus folgen die Koordinaten der Punkte:
A(6/0/0),  C(0/6/0),  E(6/0/6),  F(6/6/6),  G(0/6/6),  H(0/0/6)

Für die gesuchten Geraden brauche ich die Vektoren 
HB = (6/6/-6)  und AG = ( -6/6/6)

=> g1(BH):  X = (6/6/0) + r*(6/6/-6) 
oder auch : X = (6/6/0) + r*(1/1/-1)
=> g2(AG):  X = (6/0/0) + s*(-6/6/6)
oder : X = (6/0/0) + s*(-1/1/1)

Schnittpunkt von g1 und g2:

6 + r = 6 - s
6 + r = s
-r = s
-------------------
=> r = -3 und s = 3

=> S(3/3/3)

Abstände zu den Eckpunkten sind alle gleich
DS =(3/3/3)  => |DS| = Wurzel(3² + 3² + 3² ) = Wurzel(27) = 3*Wurzel(3)

PS: Die Abstände von S zu den Eckpunkten ist in allen möglichen Würfeln gleich.

PPS: Man könnte das Beispiel auch ohne Vektoren rechnen:
Die Seitenlängen des Würfels sind 6E.
=> Raumdiagonale = 6*Wurzel(3)
Wie eine Skizze ergibt, halbiert S die Raumdiagonale.
=> |AS| = |BS| =|CS| =........ = 3*Wurzel(3)

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1 Antwort