Schnittpunkte zweier Graphen berechnen?

ausgehend von Wurzelgn's zweiter gleichung:

x(x² - 4) = x² - 4

subtrahiere auf beiden seiten (x^2 - 4).

x(x'2 - 4) - (x^2 - 4) = 0

klammere ((x'2 - 4) aus:

(x^2 - 4)*(x - 1) = 0

nach der dritten binom. formel:

(x+2)(x-2)*(x-1) = 0

dann kannst du die x-koordinaten der schnittpunkte ablesen: x = -2, x = 2 bzw. x = 1.

(diese werte in eine funktionsgleichung eingesetzt, ergeben sich die zugehörigen y-koordinaten.)

x³ - 4x = x² - 4

x(x² - 4) = x² - 4

Wenn x² - 4 ungleich 0, kann man durch diesen Term teilen.

Dann ergibt sich

x = (x² - 4)/(x² - 4) = 1

Das wäre die erste Lösung

Bleiben noch die zwei Fälle, wo x² - 4 = 0 ist, also x² = 4

Aber die findest Du jetzt sicher alleine.

@Marco

Zwei Bemerkungen:

1. Es dürfte leichter sein, die noch verbleibende Gleichung x² = 4 zu lösen

2. Kekskopf wollte eine Anleitung, wie er/sie am besten vorgeht, keine aufgelisteten Lösungen!!!!

^^ ist es schon Weihnachten? :)

Hallo Kekskopf!

Meines Erachtens nach ist die beste Vorgehensweise, eine Gleichung nach x zu lösen, die hier Marco vorgeführt hat. Wenn ich Wurzelgnoms Bermerkung Glauben schenken soll, dass Du nur eine Anleitung zur Lösung dieser Funktion/Gleichung f(x) = g(x) erhalten willst, dann kann ich Dir nur empfehlen grundsätzlich nach dieser Anleitung zu gehen:

f(x) = g(x)

1. Die eine Funktion f von der anderen Funktion g abziehen, sodass man eine Gleichung erhält, die Null ergibt.

f(x) - g(x) = 0

2. Distributivgesetz (und hier: binomische Formeln) anwenden, sodass [f(x) - g(x)] als Produkt dargestellt werden kann. (Zerlegung in Linearfaktoren). Das Produkt ist = 0, wenn ein Faktor = 0 ist. D.h., wie Marco schon erwähnt hat, kann man die Lösungen dieser Gleichung einfach nur

[f(x) - g(x)] = (x + 2)*(x - 2)*(x - 1) ablesen.

Wenn also z.B. x = -2 ist, dann ist der erste Faktor =0= (-2 + 2) und damit ist dann das gesamte Produkt = Null. Damit hat man auch eine Nullstelle/bzw.Lösung/Schnittstelle gefunden. Das Gleiche gilt für x = 2 oder x = 1.

Natürlich gibt es mehrere Lösungswege, eine Gleichung nach x zu lösen. Man hätte auch zunächst eine Nullstelle erraten und dann eine Polynomdivision durchführen können (Wurzelgnoms Ansatz: Nullstelle abdividieren und die anderen Nullstellen bestimmen) , ähnlich

f(x) = g(x)

<=> x³ - 4x = x² - 4

<=> x³ - x² - 4x + 4 = 0

Eine Nullstelle ist offensichtlich x = 1

(x³ - x² - 4x + 4) : (x - 1) = x² - 4

x = 1 oder x² - 4 = 0

Wer bei x² - 4 = 0 die Lösung nicht schon ablesen kann, oder bei diesem Beispiel

x² - 2x + 1 = 0 die p/q- Formel anwendet, sollte sich einfach mal an die binomischen Formeln erinnern und dann den Produktsatz anwenden:

Ein Produkt ist = 0, wenn ein Faktor =0 ist.

Das ist eigentlich der sinnvollste Lösungsweg

x² - 4 = (x - 2)*(x + 2) = 0 <=> x = 2 oder x = -2

x² - 2x + 1 = (x - 1)² = (x - 1)*(x - 1) = 0 <=> x = 1

und das Distributivgesetz nicht unterschätzen. Beispiel:

5(x - 4)² = 3(x - 4)²

Die meisten Schüler multiplizieren die ganze Sache erst aus.

Dabei kann man die Lösung dieser Gleichung schon ablesen x = 4

<=> 5(x - 4)² - 3(x - 4)² = 0

<=> 2(x - 4)² = 0

Das Produkt = 0, wenn ein Faktor=0 = (x - 4) <=> x = 4

Marco hat in Deinem Beispiel das Distributivgesetz angewendet

x³ - 4x = (x² - 4) ........................ | ....x ausklammern

<=> x(x² - 4) = (x² - 4) ....... .......| eine Funktion von der anderen abziehen

<=> x(x² - 4) - 1(x² - 4) = 0.........| ...(x² - 4) ausklammern

<=> (x² - 4) * (x - 1) = 0

<=> (x + 2) * (x - 2) * (x - 1) = 0

Lösungen/Schnittstellen ablesen.

Aber vielleicht wolltest Du es ja gar nicht so genau wissen. Du fragtest nach dem besten Weg. Wie gesagt ist meiner Meinung nach Marcos Weg, nicht nur der übliche, sondern auch der beste.

Gruß

Gleichsetzen: f(x) = g(x)

x³ - 4x = x² - 4