Kann mir jemand eine Regel für die n-te Ableitung von f(x)=(x+1)^(1/2) sagen?

Also erst mal:

Das Vorzeichen wechselt ständig. Bei geraden Ableitungen ist es negativ, bei ungeraden positiv.

Also steht am Anfang der Faktor ( - 1)^(n+1)

Im Nenner kommt jedesmal der Faktor 2 hinzu, also ist das 1/(2^n)

Der Exponent verringert sich stets um 1, also

(x + 1)^[- (2n - 1)/2]

Fehlt noch der Faktor:

1 * 3 * 5 * 7 * ... * (2n - 3)

Den kann man über das Produktzeichen eingeben.

Wenn ich dieses Produkt aber bereits bei 1 loslaufen lasse, verändert sich das Vorzeichen, da 2*1 - 3 = - 1 ist

Also: Entweder Π (2i - 3) mit i von 2 bis n

oder

Π (2i - 3) mit i = 1 bis n, dann aber ( - 1) ^n statt ( - 1)^(n+1)

Hallo hasdifh!

Ich denke, Du suchst eine geschlossene Formel für die n-te Ableitung.

Dass sich das Vorzeichen bei jeder weiteren Ableitung ändert, wurde hier ja schon erwähnt und kann mit dem Faktor (-1)^n realisiert werden. Für gerade Ableitung wird der Faktor positiv und für ungerade Ableitung entsprechend negativ.

(Umgekehrt für (-1)^(n + 1)....gerade-negativ und ungerade-positiv)

Der Exponent wird um jede weitere Ableitung um 1 erniedrigt. Diesen kann man mit dieser Formel

-(2n - 1)/2 = (1/2 - n) beschreiben.

1. Ableitung:

f'(x) = 1/2(x + 1)^(-1/2)

2. Ableitung:

f''(x) = (-1/2)*(1/2)(x + 1)^(-3/2)

3. Ableitung:

f^(3)(x) = (-3/2)*(-1/2)*(1/2)(x + 1)^(-5/2)

f^(3)(x) = (3/2)*(1/2)*(1/2)(x + 1)^(-5/2)

4.Ableitung:

f^(4)(x) = -(5/2)*(3/2)*(1/2)*(1/2)(x + 1)^(-7/2)

.................... 5*3*1

f^(4)(x) = - ----------------- (x + 1)^(-7/2)

............ ........2*2*2*2

5.Ableitung:

.................. 7*5*3*1

f^(5)(x) = ----------------- (x + 1)^(-9/2)

............... 2*2*2*2*2

usw.

Für die Summe natürlicher Zahlen (aufaddiert) verwendet man die Gauß'sche Summenformel: n*(n+1)/2

Das Produkt (aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen als Faktoren) kann mit der Fakultät beschrieben werden. n! = 1*2*3* ...*n

Zunächst fällt auf, dass nur 2^n im Nenner steht.

Im Zähler werden die ungeraden Zahlen (2n - 3; für n=5 sind es 7,5,3,1) multipliziert.

Bis jetzt haben wir für die allgemeine Formel:

f^(n)(x) = (-1)^(n + 1) * ... Zähler (Produkt ungerader Zahlen) ....* [1/(2^n)] * (x+1)^(1/2 - n)

Wenn man den Zähler (2n - 3) in Fakultät setzt

Beispiel: Für n=5 (5.Ableitung)

erhält man

Zähler (Produkt aller Zahlen von 1 bis 7)

(2n - 3)! = (2*5 - 3)! = 7! = 1*2*3*4*5*6*7

Da man aber nur die ungeraden Zahlen im Zähler für die 5.Ableitung braucht (7,5,3,1), kürzt man die geraden Zahlen (2,4,6) heraus. Das kann man realisieren mit dieser Formel im Nenner

2^(n - 2) * (n - 2)! = 2^(5 - 2) * (5 - 2)! = 2*2*2*3! = 2*1 * 2*2 * 2*3 = 2* 4* 6

Insgesamt hat man also für die n-te Ableitung (für n >1, also ab 2 = n) eine geschlossene Formel:

............. ... (-1)^(n + 1) * (2n - 3)!

f^(n)(x) = -------------------------------- ------ (x + 1)^(1/2 - n)

............... .... 2^n * 2^(n - 2) * (n - 2)!

oder so

............. ... (-1)^(n + 1) * 4(2n - 3)!

f^(n)(x) = ---------------------------- -------- (x + 1)^(1/2 - n)

............... .... 2^(2n) * (n - 2)!

Diese Formel kann man mit Sicherheit noch etwas vereinfachen und mit vollst. Ind. beweisen. Aber ich denke, da reichen einige Test-Einsetzungen. So wie ich Dich verstanden habe, wolltest ja nur eine geschlossene Formel.

Ich hoffe, ich konnte Dir damit weiterhelfen. Falls Du irgendwelche Fragen hast, nur zu...

Gruß

Ich hab hier was:

f^(n) = (-1)^(n+1)*n!/{2^(n+1)*[n/2]!}*

*(x+1)^{(1-n)/2}

==========================

Dabei bedeutet [x] die größte ganze Zahl kleiner oder

gleich x.

Versuch mal nachzuprüfen, ob´s stimmt. Ansonsten

müssen wir noch etwas dranrumbasteln!