Wie leite ich einen Bruch auf?

Hallo Ella!

7/4 x^(3-v)

Was ist v...???

Ich wage es gar nicht anzunehmen, dass v eine rationale Zahl (selbst ein Bruch) sein könnte, sondern 'nur' eine ganze Zahl sein soll

v ∈ {..., -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4,...}

Wenn v < 4, dann ist klar, wie Du das integrierst, oder ?

ʃ 7/4 x^(3-v) dx = ...+C

Einfache Potenzfunktion

Beispiel v=3

ʃ 7/4 x^(3-3) dx = 7/4 ʃ x^(0) dx = 7/4 x^1 + C

Beispiel v = (-4)

ʃ 7/4 x^(7) dx = ... + C

Was passiert, wenn der Exponent (also für v > 3) NEGATIV wird ?

Erstens, das x rutscht in den Nenner und es gilt x ≠ 0 !!!

Zweitens, wenn der Exponent negativ ist, kannst Du die Potenzregel anwenden, wie Du es für positive Exponenten gewohnt bist. (Exponent um 1 erhöhen, Kehrwert nehmen...)

Mit einer Ausnahme!!! und darauf zielt Deine Aufgabe auch ab.

Wenn v = 4 ist, dann ist der Exponent = (-1) . Eine Stammfunktion ist dann die ln- Funktion.

ʃ 7/4 x^(-1) dx = 7/4 ln |x| + C

Denn 7/4 ln |x| + C ist abgeleitet ...

Gruß

PS.:

Also, die letzten Fragen meinst Du doch jetzt nicht im Ernst, oder? Die partielle Integration und die Substitution sind Integrationsregeln, die Du für diese Aufgabe nicht benötigst, falls Du danach fragst. Und Du weißt schon, was ein Integralzeichen ʃ bedeutet..., mhm?

Integrieren = anti-ableiten. (Das nennt sich neuerdings "aufleiten"? Ist ja lustig.) Du suchst die Funktion, die abgeleitet deinen Bruch ergibt (bzw. welche zu integrierende Funktion auch immer hinter dem "∫" steht).

Mit Potenzregel meinst du bestimmt sowas: ∫ x^n dx = x^(n+1) / (n+1) ?

Das ist genau das: x^(n+1) / (n+1) nach x ableiten --> (n+1)/(n+1) * x^(n+1-1) = x^n

Ja, es gibt andere Aufleitungsregeln, solche für spezielle Funktionen (zB Potenzen), oder auch für Kombinationen von Funktionen. Dein Beispiel IST aber die Potenzregel, bedenke, daß 1/x^n = x^(-n). Also steht da ∫ 7/(4x^(3-v)) dx = 7/4 ∫ x^(v-3) dx = 7/(4*(v-2)) x^(v-2) + festeZahl

Eine dieser allgemeinen Regeln sagt, daß du konstante Faktoren vor das Integral ziehen kannst, hier war das 7/4. Falls du mehr wissen willst, schau mal nach "partieller Integration", "Integration durch Substitution" usw.

Aufleitung gibts nicht, nur Ableitung oder Integrieren. Was denn nun ?

Ich denke , es ist Integrieren. Die Schlange rührt von einem langgezogenen S, was für Summe steht.

Ein Integral ist eine Summation unenl. Teilabschnitte in einem Interval, was ein Grenzwert ergibt

Die Grenzen sind von a, unter dem S bis b,über dem S. Das dx oder d ? ist die Variable nach der Integriert wird.

INT 7/4x^(3-v) dx = 7/(4 * (4-v)) * x^(4-v) + 7/(4* (v-4))

Wie bereits gesagt:

"aufleiten" ist Unsinn, wird aber in der letzten Zeit häufig benutzt, wenn man die Umkehrung vom Ableiten meint.

Vermutlich suchst Du das unbestimmte Integral, also die Menge aller Funktionen, deren 1. Ableitung dann diese vorgegebene Funktion ergibt.

Meinst Du nun:

∫7/4 x^(3 - v) dx oder ∫7/[4x^(3 - v) ] dx???

Ich mach mal Beides:

1. ∫7/4 x^(3 - v) dx = 7/4 ∫x^(3 - v) dx = 7/4 [x^(4 - v)] / (4 - v) + c

oder

2. ∫7/[4x^(3 - v)] dx = 7/4 ∫x^(v - 3) dx = 7/4 [x^(v - 2)] / ( v - 2) + c

Das c am Ende bedeutet, dass alle Funktionen, die sich nur um eine additive Konstante unterscheiden, die gleiche Ableitung haben.

Allgemein:

Konstante Faktoren kann man immer vor das Integralzeichen ziehen.

Wenn das x im Nenner steht, kann man es immer mit einem negativen Exponenten schreiben. anschließend wendest Du die Dir bekannte Potenzregel an.

Also ∫ 1/x^n dx = ∫ x^(- n) dx = [x^( - n + 1)] / ( - n + 1) + c

falls du ableitungsregeln gemeint hast..

also es gibt noch die faktorregel,die konstantenregel und die summenregel...und noch weitere aber mehr hab ich noch nich gelernt. xD

also cih denk die heißt dann: f(x)= (3-v)*7/4x^(2-v)

da ja die Grundform der Potenzregel heißt f(x)= x^n --> f ' (x)= n*x^n-1

bin mir nur nich sicher was mit den 7/4 vor dem x passiert, sorry. nächste woche könnt ichs dir sicher sagen, da sin wir dann fertig mit dem thema.^^