Kann mir jemand helfen beim Additionsverfahren?

Hallo Laura123,

du bittest um Hilfe. Ich könnte dir hier die Lösungen posten, aber damit wäre dir nur sehr kurzfristig geholfen - bis zur nächsten Mathestunde, um genau zu sein.

Es hilft dir wesentlich mehr, wenn du verstehst, wie dieser Aufgabentyp zu lösen ist, dann hast du nicht nur die Lösungen für diese vier Aufgaben, sondern kannst auch alle anderen Aufgaben lösen! :-D

Im Grunde ist die Idee hinter dem Additionsverfahren ganz simpel: Die zwei Gleichungen werden so addiert, dass eine Variable rausfällt; dann kann man leicht nach der anderen auflösen. Die so berechnete Variable setzt man dann in eine der Gleichungen ein (welche ist egal) und rechnet die andere aus.

Die Kunst ist lediglich, die zwei Gleichungen so zu bearbeiten, dass eine Variable rausfällt.

In deinem Fall sind schon alle Variablen zusammengefasst. Jetzt musst du die Gleichungen nur noch so erweitern, dass der Betrag derjenigen Variable, die rausfallen soll, gleich groß wird. Stehen die Variablen auf derselben Seite, so müssen die Vorzeichen entgegengesetzt sein, um sich bei Addition aufzuheben. Stehen die Variablen auf verschiedenen Seiten, dann müssen die Vorzeichen gleich sein.

In deinen Beispielen stehen alle Variablen auf der linken Seite, also müssen die Vorzeichen entgegengesetzt sein.

Jetzt muss man nur geschickt erweitern.

Prinzipiell gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Ich rechne dir für das erste Beispiel einige Varianten vor.

Wenn man das x rausschmeißen will, könnte man z.B. die erste Gleichung mit dem Faktor -3/4 multiplizieren, dann wird aus 4x ein -3x und verschwindet bei Addition des 3x aus der zweiten Gleichung. Die erste Gleichung sieht dann so aus:

-3 x + 9/4 y = -111/4

Analog kann man stattdessen die zweite Gleichung um den Faktor -4/3 erweitern:

-4 x + 16/3 y = -20/3

Addiert man diese Gleichung zur ersten, hebt sich 4x und -4x weg.

Wenn man keinen Bock auf Brüche hat, kann man auch beide Gleichungen multiplizieren, und zwar jeweils mit dem Faktor, der bei der anderen Gleichung vor der entsprechenden Variablen steht; einer der Faktoren muss aber das entgegengesetzte Vorzeichen haben. Hier bedeutet das, dass die erste Gleichung mit 3 und die zweite Gleichung mit -4 erweitert wird (oder die erste mit -3 und die zweite mit +4).

Das sieht dann so aus:

(1) 12 x - 9 y = 111

(2) -12 x + 16 y = -20

Diese ganzen Spielchen kann man auch für das y machen.

Die ersten Zeile wird dann z.B. zu: -16/3 x + 4 y = -148/3 [Faktor -4/3]

Oder es wird die zweite Zeile zu: -9/4 x + 3 y = -15/4 [Faktor -3/4]

Oder man bearbeitet beide Gleichungen gleichzeitig:

(1) -16 x + 12 y = - 148 [Faktor -4]

(2) 9 x - 12 y = 15 [Faktor +3]

Das schöne ist: In allen Fällen kommt immer dasselbe Ergebnis heraus! :-)

Nehmen wir die allerletzte Version. Hier addieren wir jeweils die linken und rechten Seiten (so wird das beim Additionsverfahren immer gemacht):

(1) -16 x + 12 y = - 148

(2) 9 x - 12 y = 15

(1) + (2):

(-16x + 9x) + (12y - 12y) = (-148 + 15)

-7 x + 0 = -133

x = (-133) / (-7)

x = 19

Das setzt man jetzt in eine der ursprünglichen Gleichungen ein.

entweder: -16 * 19 + 12 y = - 148 --> y = (304 - 148) / 12 = 13

oder: 9 *19 - 12 y = 15 --> y = (15 - 171) / (-12) = 13

Das Ergebnis ist also immer x=19 und y=13.

Nach diesem Schema kannst du auch die restlichen Gleichungssysteme lösen.

Viel Erfolg!

Zac

...hausaufgaben selbst zu erledigen steigert den lerneffekt....

a) x=19;y=13

b) x=3,y=2

c) x=-18;y=21

d) x=-2,8 ; y=3,64

Das ist wirklich kinderleicht. Du multiplizierst die Zeilen so, daß sich jeweils eine Variabale rauskürzt. Ich geb Dir die a) mehr nicht.

a)

Zeile 1: mal 3

Zeile 2: mal -4

Addition für Auflösung nach y ist dann:

12x + (-12x) -9y + 16y = 111 + (-20)

Alles klar?

Nun setzt Du den y Wert in eine der alten Zeilen ein und löst nach x auf.

Das war es schon für a) ein Kinderspiel