warum liegt eine wertelücke vor?

@Ursula: Tippfehler ist korrigiert - siehe unten)

Liebe Ursula,

das kann man so pauschal nicht sagen.

Das KANN ein einfaches Loch sein,

das KANN aber auch eine Polstelle sein.

Beispiel:

y = f(x) = (2x² - 3x - 2)/(x - 2)

Diese Funktion ist für x = 2 nicht definiert, der Zähler UND der Nenner werden 0 für x = 2

y = f(x) = (2x² - 3x - 2)/(x - 2) = [(2x + 1)(x - 2)] / (x - 2)

Für alle x ≠ 2 lässt sich der Term (x - 2) herauskürzen.

Es ist also:

f(x) = 2x + 1 mit x ≠ 2

Der Graph ist also eine Gerade, die in (2 | 5) ein Loch hat

Es kann aber auch eine Polstelle sein, Beispiel:

y = f(x) = (x - 1)/(x² - 2x + 1)

Für x = 1 verschwinden Zähler und Nenner. Aber hier liegt nicht nur einfach eine Lücke vor, sondern wirklich eine Polstelle.

Es gilt nämlich für alle x ≠ 1

y = (x - 1)/(x² - 2x + 1) = (x - 1) / (x - 1)² = 1 / (x - 1)

Und hier liegt in x = 1 eine Polstelle vor

@Ursula:

Habe den Fehler korrigiert.

Musste natürlich heißen: y = (2x² - 3x - 2)/(x - 2)

Nimm die Funktion f(x) = x/x, reelle x. Offenbar ist fast überall der Wert = 1, der Graph also eine Horizontale durch y=1. Was passiert bei x=0? Zunächst sieht es so aus, als ob dort der Funktionswert auch 1 "sein müsste", weil der Punkt (0|1) die Lücke im Graphen so schön schließt. So einfach ist es aber nicht, und das scheint dich zu irritieren.

Auch wenn rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert noch so sehr an der Stelle 0 auf y=1 hinweisen - der Punkt (0|1) gehört trotzdem nicht zur Funktion. Weil zwar die entsprechenden Grenzwerte, nicht aber der Ausdruck 0/0 definiert sind, hat x/x an der Stelle x=0 eine Definitionslücke.

Alternativ kannst du z.B. die aus f stetig ergänzte NEUE Funktion g definieren (ganz recht, eine andere Funktion!): {g(x)=x/x für x ungleich Null, g(x)=1 für x gleich Null}.

Du darfst nun mal nicht durch Null teilen, auch Null nicht.

-

Natürlich hat das was mit Deiner Frage zu tun. Es ist nämlich die Antwort.