Rechnen mit Vektoren: Schnittpunkt berechnen?

Also mal an einem Beispiel:

Gegeben seien zwei Geraden g und h

g gehe durch P(1 | 4) und habe den Richtungsvektor ( 2 ; - 4)

h gehe durch Q(4 | 3) und habe den Richtungsvektor ( 2 ; 1)

Dann lauten beide Geradengleichungen:

g : (x ; y) = (1 ; 4) + r(2 ; - 4)

h : (x ; y) = (4 ; 3) + t(2 ; 1)

(Ich schreibe das hier jetzt mal als Zeilenvektor; übertrage das dann bitte selber in die Schreibweise mit Spaltenvektoren)

Für den Schnittpunkt muss dann gelten:

(1 ; 4) + r(2 ; - 4) = (4 ; 3) + t(2 ; 1), also

(1 + 2r ; 4 - 4r) = (4 + 2t ; 3 + t)

Da die Übereinstimmung koordinatenweise sein muss, erhalten wir jetzt ein lineares Gleichugnssystem von zwei Gleichungen in zwei Variablen:

(I) 1 + 2r = 4 + 2t

(II) 4 - 4r = 3 + t

Als Lösung des Gleichungssystems erhältst Du:

t = - 1 und r = 0,5

In die beiden Geradengleichugnen eingesetzt erhältst Du als Schnittpunkt:

g : (x ; y) = (1 ; 4) + r(2 ; - 4) = (1 ; 4) + 0,5 * (2 ; - 4) = (1;4) + ( 1 ; - 2) = (2 ; 2)

h : (x ; y) = (4 ; 3) + t(2 ; 1) = (4; 3) - 1(2 ; 1) = (4 ; 3) + ( - 2; - 1) = (2 ; 1)

Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten S( 2 | 2)

@Nachtrag

(I) 1 + 2r = 4 + 2t

(II) 4 - 4r = 3 + t

Sortieren:

(I)* 2r = 3 + 2t

(II)*- 4r = - 1 + t

2(I)*4r = 6 + 4t

(II)*-4r = - 1 + t (Beide Gleichungen addieren)

______________

0 = 5 + 5t | - 5

- 5 = 5t | : 5

t = - 1

Einsetzen in (I) und (II)

(I) 1 + 2r = 4 + 2( - 1)

1 + 2r = 4 - 2

1 + 2r = 2 | - 1

2r = 1| : 2

r = 0,5 und

(II) 4 - 4r = 3 + t

4 - 4r = 3 + ( - 1)

4 - 4r = 3 - 1

4 - 4r = 2 | - 4

- 4r = - 2 | : ( - 4)

r = 0,5