Was ist lim x--∞ x^2 * sin(3/x^2) ?

Question

Ich bereite mich gerade auf eine Matharbeit vor und komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Die Funktion heißt f(x) = x^2 * sin(3/x^2)  und man soll herausfinden was passiert, wenn f(x) gegen unendlich geht:

 lim x-->∞    x^2 * sin(3/x^2) 

Wenn ich auf den Graph im Taschenrechner schaue, kommt bei mir +3 raus...aber wie beweise ich das rechnerisch? Ich wäre wirklich dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Danke im Vorraus!

Wurzelgnom · Accepted Answer

Gegeben ist die Funktion f mit
y = f(x) = x² * sin (3/x²)

Diese Funktion kann ich auch als Quotient zweier Funktionen u und v auffassen mit:
u(x) = sin (3/x²) und
v(x) = 1/x², also
f(x) = u(x) / v(x) = sin (3/x²) / ( 1/x²)

Für x -> oo streben beide Funktionen gegen 0.
also kann ich die Regel von 'l Hospital anwenden und im Zähler und im Nenner die 1. Ableitung bilden:
u'(x) = - 6/x³ * cos (3/x²) und
v'(x) = - 2/x³

Der Quotient beider Ableitungen ist nach Kürzen:
3 cos (3/x²)

Für x -> oo strebt 3/x² gegen 0, der zugehörige Kosinus also gegen 1
Damit strebt der gesamte Ausdruck gegen 3

@Evadawn

Was - bitte - willst Du?
Du hast hier seit Stunden von Scratchy und mir zwei Lösungswege für den lim x -> oo

In beiden Lösungen ist der Bruch im Argument der Sinusfunktion berücksichtigt.

Scratchy · Answer

fÃ¼r groÃe x wird das Argument des sinus beliebig klein, also kann der sinus durch seine lineare NÃ¤herung bei 0 ersetzt werden, sin(3/xÂ²) ~ 3/xÂ², deshalb limes = xÂ² * 3/xÂ² = 3.

Anonym · Answer

We see that:

lim (x-->0) sinÂ²(3x)/xÂ²
= lim (x-->0) [sin(3x)/x]Â²
= [lim (x-->0) sin(3x)/x]Â²
= [3 * lim (x-->0) sin(3x)/(3x)]Â²
= (3 * 1)Â²
= 9. <== ANSWER

Was ist lim x-->∞ x^2 * sin(3/x^2) ?

3 Antworten