Gilt das Quotientenkriterium nur für geometrische Reihen?

Beim Quotientenkriterium muss das Verhältnis zweier aufeinanderfogender Glieder nicht konstant sein wie bei einer geometrischen Reihe. Aber es muss stets kleiner sein als eine feste positive Zahl, die kleiner ist als 1.

Also ein bisschen konkreter :

Es genügt nicht, dass das Verhältnis immer kleiner ist als 1

(Das hast Du ja bereits an einigen Gegenbeispielen bemerkt)

Es muss schon eine Zahl geben, die kleiner ist als 1, von der man sagen kann, dass dieses Verhältnis immer kleiner ist als diese.

Ich erinnere an die Harmonische Reihe

∑1/n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/4 + .....

Hier gilt ja auch 1/(n+1) : 1/n = n / ( n+1) = (n+1-1)/(n+1) = 1 - 1/(n+1) < 1

Aber diese Reihe divergiert

Hingegen

∑1/n² konvergiert, aber bei

1/(n+1)² : 1/n² = n²/(n+1)² = (n² + 2n + 1 - 2n - 1)/(n+1)² = 1 - (2n-1)/(n+1)² lässt sich ebensowenig eine Konstante c angeben mit

a_n+1 : a_n < c < 1

Und dennoch konvergiert diese Reihe.

Nun wähle ich mal eine Reihe, die NICHT geometrisch ist:

∑ 1/(2^n - 1)

Wir bilden die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Summanden:

a_ n = 1/(2^n - 1), a_n+1 = 1/[2^(n+1)- 1] = 1/[2*2^n - 1)

a_n+1 : a_n =

1/(2*2^n - 1) : 1(2^n - 1) =

(2^n - 1)/(2*2^n - 1) =

(2^n - 1/2 - 1/2) / [2(2^n - 1/2)] =

1/2 - (1/2)/ [2(2^n - 1/2)] =

1/2 - 1/4[ (2^n - 1/2)] < 1/2 < 1

Hier sind die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Summanden stets kleiner als 1/2, was hingegen kleiner ist als 1

Diese Reihe ist nicht geometrisch.

Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder ändert sich ständig.

Aber er ist stets kleiner als 1/2, was eine positive konstante Zahl unter 1 ist.

Das Quotientenkriterium gilt für alle unendlichen Reihen. Es vergleicht die zu prüfende Reihe mit der Geometrischen. Die spezielle Geometrische Reihe (ganz richtig: die mit einem konstanten Verhältnis zweier Folgeglieder) dient dabei als Abschätzung der Testreihe nach oben: Wenn alle, außer endlich viele, Folgenglieder in einem Verhältnis < 1 zueinander stehen, dann konvergiert sie. Dieses letztgenannte Verhältnis muss nicht konstant sein, es kann zum Beispiel immer kleiner werden. Wichtig ist nur, daß es für das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder überhaupt eine obere Grenze gibt, und daß diese < 1 ist.