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Extrempunkte im Intervall [0 ; p) bestimmen für Funktion f(x)=sin(2/3x)?
Hallo!
Ich habe eine Aufgabe, die lautet:
Bestimme die Periode p und die Amplitude der Funktion f. Gib alle Extrempunkte im Intervall [0 ; p) an.
Die Funktion f lautet: f(x)=sin(2/3x)
Die Amplitude ist ja 2, und die Periode 2π/(2/3), also 3π.
Wie errechne ich jetzt die Extrempunkte im oben genannten Intervall?
Vielen Dank schonmal im Vorraus!
2 Antworten
- TomLv 7vor 10 JahrenBeste Antwort
Dazu leitest Du am Besten erstmal ab:
f´(x) = (2/3)cos((2/3)x)
f´´(x) = -4/9sin((2/3)x)
Nun setzen wir die erste Ableitung Null:
0 = (2/3)cos((2/3)x)
und multiplizieren diese Gleichung mit 3/2
=> 0 = cos((2/3)x)
=> (2/3)x = (π/2) + k*π, k∈Z.
Jetzt stört uns noch das 2/3:
x = (3π/4) + k*(3π/2), k∈Z.
Zum Schluß müssen wir nur noch herausfinden,
welche dieser Nullstellen im Intervall [0;3π)
liegen:
Die erste nicht kleiner als Null ergibt sich für k=0.
Danach erhöhen wir k solange, bis wir 3π erreichen
oder darüber hinausschießen:
k=0 => x1 = 3π/4
k=1 => x2 = 9π/4
k=2 => x3 = 15π/4 entfällt bereits, da nicht kleiner
als 3π.
- WurzelgnomLv 7vor 10 Jahren
Nein, die Amplitude ist nicht 2.
Der gröÃte Wert, den die normale Sinusfunktion annehmen kann, ist 1, der kleinste ist - 1.
Beide werden innerhalb einer Periode genau einmal angenommen, nämlich für п /2 und für 3 п/2.
Hier aber muss für eine Periode gelten
2/3 x = 2 п, also x = 3 п
Also betrachten wir das Intervall: [0 ; 3 п]
2/3 x = п/2 => x = 3/4 п, also f(3/4 п) = 1 und
2/3 x = 3/2 п => x = 9/4 п, also f(9/4 п) = - 1
