Wie formt man dieses Integral so um?

Question

(S für Integral)
S(cos(x) * sin(x)) dx= S(sin(x) )dsin(x)
kann mir wer erklären welche Mächte da am Werk sind/ wie das funktioniert, was ich mir darunter vorzustellen haben?
Danke schon mal für eure Antworten

Wurzelgnom · Accepted Answer

Wir betrachten beide Seiten für sich:
∫cos x sin x dx und
∫sin x d (sin x)
Im zweiten Fall wäre sin x die Variable, mit der intergriert werden soll.
Wir wissen:
∫x dx = x²/2 + c
Das hieße dann hier:
∫sin x d(sin x) = 1/2 sin²x + c

Bleibt zu zeigen, dass auch
∫cos x sin x dx = 1/2 sin²x + c
ist

Man kann das partiell machen:
∫u'v = uv - ∫uv'

Ich setze:
u = sin x, also u' = cos x
v  = sin x, also v' = cos x

∫cos x sin x = sin²x - ∫sin x cos x dx 
2∫cos x sin x = sin²x + c
∫cos x sin x = 1/2 sin²x + c

Wie formt man dieses Integral so um?

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