e Funktion, differenzieren,ableiten, expotential Funktion, Analysis, Abiaufgabe mit Lösung!?

Hallo,

ich übe gerade für eine Abi Aufgabe.

s.

http://www.mint-hamburg.de/abitur/Analysis.pdf

S.In der pdf S.15 Aufgabe und S.77 Lösung!

aber in der Aufgabe wird viel mit der mitgegebenden Zeichnung erklärt und nicht mit einer Rechnung deshalb möchte ich die Aufgaben auch so lösen.

Aufgabe 2 Medikation

Aufgabe aus der schriftlichen Prüfung 2008.

Nach Einnahme eines Medikamentes kann man dessen

Konzentration im Blut eines Patienten messen. Für die

ersten 6 Stunden beschreibt die Funktion f mit der Gleichung

f (t)=10t ⋅ e−0,5t die im Blut vorhandene Menge

des Medikamentes in Milligramm pro Liter in Abhängigkeit

von der Zeit t. Nach 6 Stunden erfolgt der Abbau

näherungsweise linear (siehe Anlage).

a) Berechnen Sie die maximale Konzentration im Blut

und den Zeitpunkt, zu dem sie vorhanden ist.

b)Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem das Medikament am stärksten abgebaut wird.

Ich habe dann bei a f(t) abgeleitet und 10e^(-0,5t) - 5t e^(-0,5t) erhalten, weil Produktregelm dann Kette etc.

aber die zweite Ableitung die ich brauche um bei Augabe a das Maxima zu bestimmen ist laut den Lösungen f ′′(t) = −10e−0,5t + 2,5t ⋅ e−0,5t (s. pdf Lösung s. 77)

aber die 2. Ableitung wird doch folgend gebildet

Dann ist die zweite Ableitung:

f''(t) = -5 e^(-0,5t) (kettenregel) - 5e^(-0,5t) + 2,5t e^(-0,5t) (produktregel und beim zwieten dann noch kettenregel)

Es handelt sich um eine Abi Aufgabe deswegen sind die Lösung 1000000000000000000000000000000000% richtig aber verstehe nicht wieso?

Warum ist die zweite Ableitung

f ′′(t) = −10e−0,5t + 2,5t ⋅ e−0,5 und nicht - 5e^(-0,5t) + 2,5t e^(-0,5t)?