e Funktion differenzieren, Analysis , Abi Aufgabe mit Lösung, Lösungsweg verstehen?

e Funktion differenzieren, Analysis , Abi Aufgabe mit Lösung, Lösungsweg verstehen?

Aufgabe 2 Medikation

Aufgabe aus der schriftlichen Prüfung 2008.

Nach Einnahme eines Medikamentes kann man dessen

Konzentration im Blut eines Patienten messen. Für die

ersten 6 Stunden beschreibt die Funktion f mit der Gleichung

f (t)=10t ⋅ e−0,5t die im Blut vorhandene Menge

des Medikamentes in Milligramm pro Liter in Abhängigkeit

von der Zeit t. Nach 6 Stunden erfolgt der Abbau

näherungsweise linear (siehe Anlage).

a) Berechnen Sie die maximale Konzentration im Blut

und den Zeitpunkt, zu dem sie vorhanden ist. 20 P

b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem das Medikament am stärksten abgebaut wird. 10 P

Lösungen vorhanden aber hier wird mit Abildung erklärt, möchte es ohne diese rein rechnerisch lösen !

http://www.mint-hamburg.de/abitur/Analys%E2%80%A6

In der pdf S.15 Aufgabe und S.77 Lösung!

a)Die höchste Konzentration im Blut ist an der Stelle, an der der Graph der Funktion

f mit der Gleichung f (t)=10t ⋅ e−0,5t einen Hochpunkt hat. Es muss also

gelten: f ′(t) = 0 mit f ′(t) =10e−0,5t − 5t ⋅ e−0,5t . Somit erhält man t = 2.

Dem Verlauf des Graphen in der Anlage ist zu entnehmen, dass dies nur ein

Maximum sein kann.

f (2) = 10⋅2⋅ e−0,5⋅2 ≈ 7,36 .

Die höchste Konzentration ist also nach 2 Stunden vorhanden und beträgt 7,36

Milligramm pro Liter. 20

b) Der stärkste Abbau entspricht der betragsmäßig größten Steigung nach dem

Maximum des Graphen der Funktion f . Sie wird im Wendepunkt von f angenommen.

Also muss gelten: f ′′(t) = 0 mit f ′′(t) = −10e−0,5t + 2,5t ⋅ e−0,5t . Damit

ergibt sich t = 4. Das Medikament wird nach vier Stunden am stärksten abgebaut.

Meine Rechnung! ^=hoch und *= muliplizieren

Muss 1+2 Ableitung bilden um Extrempunkt zu berechnen

a)

f (t)=10t ⋅ e^−0,5t ist die Funktion

und bei a) bilde ich die erste Ableitung

f'(t)= 10*e^-0,5*t -5*e^-0,5t

weil Produktregel und 10t abgeleitet=10 * e^-0,5t und dannach - 5t weil Kettenregel 10t *-0,5t und danach noch e^-0,5t

d.h insgesamt f'(t)= 10*e^-0,5*t +10*e^-0,5t

aber davon die 2. Ableitung ???

weil f'(t)= 10*e^-0,5*t +10*e^-0,5t

soll f′′(t) = −10*e^−0,5t + 2,5^*t ⋅ e^−0,5t ergeben aber wieso?

weil 10*e^-0,5*t abgleitet doch -5e^-0,5t sind und nicht -10 ??? weil man doch innere mal äußere nimmt...

Erklärung bitte! Vielen Dank!