Wie rechnet man diese Matheaufgabe?

Question

Eine der größten Hängebrücken Europas ist die dänische Storebelt-Brücke, die Inseln Fünen und Seeland verbinden. Die beiden Pylonenstehene 1624m weitauseinanderr und ragen 254m aus dem Wasser heraus. Die Fahrbahn ist zwischen den Pylonen an 66 Seilen auf jeder Seite aufgehängt und befindet sich 77m über der Wasseroberfläche. Die Form des zwischen den Pylonen hängenden Tragseils entspricht fast genau der Form einer Parabel. Bestimme eine Funktionsgleichung für die von Tragseil gebildete Parabel.

bitte helft wenn ihr sie lösen könnt :)

Flave · Accepted Answer

da es eine hängebrücke ist, können wir von einer achsensymmetrischen positiven x^2-Funktion ausgehn

der tieftste punkt (77meter über der wasseroberfläche) ist logischerweise der scheitelpunkt 
wir sagen einfach mal, dass der scheitelpunkt auf der y-achse liegt.
dann hätten wir den punkt S(0/77)

dann wissen wir, dass die pylonen 1624m voneinander entfernt stehen.
der scheitelpunkt ist logischerweise in der mitte, das bedeutet, dass die beiden pylonen 812m von ihm entfernt sind. dazu wissen wir,d ass sie 254m aus der erde ragen.
daher erhlaten wir noch 2 Punkte:
P(812/254)
Q(-812/254)

jetzt bilden wir daraus einfach eine funktion
wir wissen, dass die funktion quadratisch sein muss, also haben wir:
f(x) = ax² + bx + c
wenn wir nun die 3 punkte einsetzten erhalten wir 3 gleichungen und können daraus a,b und c bestimmen, erhalten also die gesuchte funktion.

1) 77 = a(0)² + b(0) + c
2) 254 = a(812)² + b(812) + c
3) 254 = a(-812)² + b(-812) + c

wir sehn schon an 1), dass c=77 sein muss, denn a und b fallen weg.

dann wenden wir auf 2) und 3) das additionsverfahren an.
wir addieren beide gleichungen, sodass b wegfällt.
(links und rechts muss ja logischerweise immernoch das gleiche stehen)

nebenrechnung:
(812)² = 659344 [bei (-812)² natürlich auch, das minus fällt ja weg]

2) 254 = a(812)² + b(812) + 77  [+]
3) 254 = a(-812)² + b(-812) + 77
__________________________
508 = 1318688a + 154 |-154
354 = 1318688a |1318688
0,000268448... = a (hier wirds leider etwas ungenau)

dadurch, dass 2) und 3) sich nur bei -812b bzw. +812b unterscheiden, muss b logischerweise "0" sein.

damit haben wir die funktion:
f(x) = 0,000268a + 77

oder um nicht ungenau zu werden:

f(x) = (177/659344)x² + 77

@Wurzelgnom: ja sorry, ich meinte positiv, habs jetzt auch geändert ;)
klar. ist ja eine hängebrücke der "bauch" muss nach unten zeigen

Wurzelgnom · Answer

Ich lege das Koordinatensytem so, dass die Parabel axialsymmetrisch bzgl. der y-Achse verläuft und ihren Scheitelpunkt in S(0|77) hat
Die oberen Enden der Stahlbetonpylone befinden sich dann in den Punkten:
P₁( - 812 | 254) und P₂(812 | 254)

Die Scheitelpunktsform einer solchen Parabel ist dann
y = f(x)  = ax² + 77

Jetzt die Koordinaten von P₁ bzw. P₂ einsetzen:
254 = 812²a + 77

Damit lässt sich a ermitteln.
812²a = 177
a = 177/812²

Also ist die Gleichung:
y = f(x) = 177/659344 x² + 77

http://de.wikipedia.org/wiki/Storeb%C3%A6ltsbroen

Wie rechnet man diese Matheaufgabe?

2 Antworten