Brauche dringend Hilfe zum Thema Kurvendiskussion (ökonomisch)?

Question

Bin eine absolute Matheniete und brauche dringend Hilfe :(
also gegeben sind die Funktionen K(x) = 2x³ -12x² + 26x + 20
Der Erlös beträgt 20 GE je ME.

Wie lautet die Erlösfunktion?
Das habe ich vorher nur gemacht wenn auch eine Preisabsatzfunktion gegeben war, aber das ist hier ja nicht der Fall.

Dann wird noch nach der Funktion für die variablen Stückkosten gefragt und Nutzenmaximum??


würde mich freuen wenn mir jemand die Rechenwege erklärt :)

Liebe Grüße!

KN · Accepted Answer

Die Erlösfunktion ist E(x) = 20 x

Wenn in Deine Nomenklatur Nutzen = Erlös - Kosten ist dann

N(x)=E(x) - K(x) =20 x-(2x³ -12x² + 26x + 20) = -2 x³ +12 x² - 6 x + 20

N(x) hat ein lokales Extremum wenn N'(x)=0 und N''(x) < 0

N'(x) = -6 x² +24 x -6 = 0

Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen

x1=2- Wurzel(3) = 0,27

x2=2+Wurzel(3 )= 3,73

Einsetzen in N''(x)= -12 x + 24

N''[2- Wurzel(3)]=20,7 >0 also ist hier ein Minimum

N''[2+Wurzel(3)] = -20,8<0 also Maximum

Also hat die Funktion bei x=3.73 ein lokales Maximum und einen Nutzen von N(2+Wurzel(3))=12 Wurzel(3) = 20,8

Sollte aus der Aufgabenstellung hervorgehen, dass x ganzzahlig sein muss, dann müßtest Du jetzt noch N(3) = 16 und N[4] = 20 prüfen. In diesem Fall wäre das Maximum bei x=4. Achtung! Runden genügt nicht!!!

Für ein globales Maximum mußt du doch das Verhalten von x an den Rändern des Definitionsbereich überprüfen. Dieser wäre [0,unendlich)

N[0] = -20

Limes x->unendlich (N(x)) -> -unendlich.

Da N[x2) > N[0] > N(x->unendlich) ist x2 auch das globale Maximun.

Die Variablem Stückkosten sind die Kosten, die von der Stückzahl abhängen also

vK(x)=2x³ -12x² + 26x

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