Wie groß ist die Differenz?

Hallo!

Kaum zu glauben, aber das ist eine wahre Aussage: 1 = 0,9 Periode

(mathematisch gesehen, eine korrekte Gleichung).

Man könnte ja glauben, dass 0,9 Periode ein bisschen kleiner sei als die Zahl 1.

Aber das ist nun wirklich nicht so. Diese beiden Zahlen sind definitiv gleich und dieses läßtt sich auch mathematisch beweisen.

Genauso wie zum Beispiel 0,25 = 1/4 ist oder 8/4 = 2 oder wenn es hilft:

1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 9/9 = 1

0,3 Periode + 0,3 Periode + 0,3 Periode = 0,9 Periode = 1

Das hat mit dem Grenzwert einer Nullfolge absolut nichts zu tun!

Mathematischer Beweis:

10 * 0,9 Periode = 9,9 Periode

9 * 0,9 Periode = (10 - 1) * 0,9 Periode = 10 * 0,9 Periode - 1 * 0,9 Periode

......Distributivgesetz.........

10 * 0,9 Periode - 1 * 0,9 Periode = 9,9 Periode - 0,9 Periode = 9

<=> 9 * 0.9 Periode = 9............| : 9

<=> 1 * 0,9 Periode = 1

<=> 0,9 Periode = 1

Die Differenz dieser beiden Zahlen ist damit Null.

0,9 Periode - 1 = 0

Gruß

PS.:

Zu Deinen Aussagen in weitere Details:

In der höheren Mathematik (höhere Analysis) wird mit (+∞) sogar (bedingt) "gerechnet".

2 mal (+∞) = (+∞)

7 mal (+∞) = (+∞)

Damit will ich sagen: Wenn man eine positive konstante Zahl mit "+unendlich" multipliziert, ist das Ergebnis wieder "+unendlich"; es wird also nicht größer als "+unendlich". Eine doppelte "+Unendlichkeit" gibt es nicht.

(-2) mal (+∞) = (-∞)....<----"minus unendlich"

Auch wenn sich vielleicht ein Schüler, der sich mit Grenzwerten beschäftigt, (+∞) nicht so recht vorstellen kann und auch wenn die Zahl 0,9 Periode unendlich viele 9er als Ziffern hat, so ist für einen Mathematiker die Menge der reellen Zahlen geordnet, abgeschlossen und dicht (<-math. Begriffe). D.h. keine noch so kleine Zahl passt zwischen die beiden Zahlen 1 und 0,9 Periode. Und (-∞) ist der "linke Rand" und (+∞) der "rechte Rand" des "reellen Zahlenstrahls". Dahinter ist Ende im Gelände. Aber das wolltest Du wahrscheinlich gar nicht so genau wissen.

0,9....(periode9) ist nur eine andere Schreibweise für 1

Deshalb lässt man ja auch die Neunerperiode bei Dezimalzahlen nicht zu, weil die Schreibweise sonst nicht eindeutig wäre.

Und wenn hier jemand schreibt, die Differenz GINGE GEGEN Null, dann ist das falsch.

Die Differenz IST Null.

Die Folge {0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; ...} geht gegen 1

Aber 0,99999... (periode 9) IST 1.

0,33333... (periode 3) ist 1/3

3 * 0,33333...(periode 3) = 0,999999....(periode 9( = 3 * 1/3 = 3/3 = 1

Und damit IST 1 - 0,99999...(periode) tatsächlich gleich 0

@Nachtrag

0,999999....(periode9) = 9*0,111111111... (periode1) = 9 * 1/9 = 9/9 = 1

0,888888....(periode8) = 8*0,111111111... (periode 1) = 8*1/9 = 8/9

0,777777....(periode7) = 7*0,111111111....(periode 1) = 7*1/9 = 7/9 usw.

also 0,99999...(periode9) - 0,888888...(periode8) = 9/9 - 8/9 = 1/9

entsprechend 0,99999...(periode9) - 0,7777...(periode7) = 9/9 - 7/9 = 2/9 usw.

0,4444...(periode4) = 4/9

1/3 = 3/9

0,4444...(periode4) - 1/3 = 1/9 = 0,1111....(periode1)

Du übersiehst, dass ich am Anfang explizit von der 9-er Periode gesprochen habe, also

0,3999999....(periode9) = 0,4

Das liegt irgendwo in der Unendlichkeit ;-)

Nee, Spaß beiseite. Der Fehler leigt darin das eins durch drei eignetlich nicht null komma periode drei ist, es wird nur vereinfacht so dargestellt. Meiner Meinung nach ist es aber einfacher einfach 1/3 zu schreiben, dann stimmts nämlich.

Aus diesem Grund mussten wir in Matheklausuren bei sowas auch immer mit Brüchen rechnen, da es sonst Abweichungen beim Ergebnis gab

Nein, es tendiert nur gegen 0.

In einem Koordinatensystem würde die Kurve immer weiter gegen 0 laufen, aber diese nie erreichen.

Im Dezimalsystem kann man 1 durch 3 nicht glatt teilen.

Darum benutzt man ja auch Brüche.