Kurvendisskusion | Extrema u. Wendepunkt berechnen?

Question

Guten day alle zusammen...

Wir haben gerade in Mathe das Thema "Kurvendisskusion". 
Wir kriegen eine Funktion und sollen  :
- die Ableitungen bestimmen
- auf Symetrie überprüfen
- Nullstellen berechnen
- Hoch-,Tief-, und Sattelpunkte bestimmen
- Wendepunkte
- und am Ende den Graphen zeichnen..

Diese Funktion ist gegeben :
 f (X) = -1/6x³ + 1/2x -2

<<<Ableitung :
f `(x)   =-1/2x² + 1/2
f `` (x) = -1

<<<Symetrie:
Die Funktion ist  unsymetrisch das gerade wie ungerade Potenzen vorhanden sind.

<<<Nullstellen:
Mittels pq Formel.. (in meinem Fall mitels Taschenrechner )
Erste Nullstelle  = -2.72
Zweite Nullstelle = hat keine
Dritte Nullstelle  = hat keine

<<< Hoch-,Tief-, und Sattelpunke...

Ab jetzt komm ich nicht mehr weiter..
Also ich hab das so verstanden ...
hinreichendes Kriterium =  f `(x) = 0

Was bedeutet hinreichendes Kriterium und was soll ich damit anfangen ?
Irgendwie soll dan nach x Aufgelöst werden und dann soll man für Wendepunkte in der zweiten Ableitung die Wendepunkte bestimmen...

Also könntet ihr mir eine Erklärung zum vorgehen der Berechnung der Hoch-,Tief-, Sattel-, und Wendepunkte geben ?
Bitte nicht einfach die Aufgabe lösen...ich will Schritt für Schritt verstehen wie man vorgehen muss...

Ich hab schon fleißig rumgesurft aber dort wird das nicht so ausführlich Erklärt wie ich mir das wünsche.. 

Vielleicht gibt es ja unter euch der die Zeit hätte mir ausfürhlich zu helfen und die Vorgehensweise zu erklären ?!

würde mich freuen : ) 

lg Daniel

Wurzelgnom · Accepted Answer

Hallo, Daniel!

Du hast schon eine ganze Menge an Vorarbeit geleistet, also gebe ich Dir gerne ein paar weitere Tipps.

Du hast eine rationale Funktion 3. Grades, der Faktor vor x³ ist negativ.

Daraus lassen sich bereits einige Eigenschaften ableiten:

lim x -> - oo f(x) = + oo und lim x -> +oo f(x) = - oo, also:

Der Graph der Funkiton kommt von links oben und verschwindet nach rechts unten.

Da die Funktion in |R stetig ist, muss es mindestens eine Nullstelle geben.

Was die Symmetrie betrifft, so ist Deine Aussage nicht ganz richtig.

Jede ganz rationale Funkiton 3. Grades ist symmetrisch, und zwar zentralsymmetrisch (punktsymmetrisch) bezüglich ihres Wendepunktes. Aber vielleicht habt Ihr das in der Schule nicht besprochen.

Insofern hast Du recht: Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, also weder axialsymmetrisch bzgl. der y-Achse, noch punktsymmetrisch bzgl. O.

Der Näherungswert für die Nullstelle ist richtig. es gibt keine weiteren Nullstellen (Begründung dazu später)

Nun zu den Ableitungen:

Die 1. Ableitung ist richtig:

y' = f '(x) = - 1/2 x² + 1/2

Wenn die Tangente in den Extremstellen den Anstieg 0 hat, bedeutet das, dass Du extremwertverdächtige Stellen finden kannst, indem Du die erste Ableitung auf Nullstellen untersuchst, also

- 1/2 x² + 1/2 = 0 <=>

x² = 1

|x| = 1

Das sind also zwei Stellen: - 1 und 1.

Wenn an diesen Stellen die 2. Ableitung nicht auch 0 ist, liegen hier lokale Extrema vor.

Und nun kommt aber Dein Fehler:

Du hast die zweite Ableitung falsch gebildet (vermutlich ein Flüchtigkeitsfehler, der Dir aber hätte auffallen müssen). Die 2. Ableitung einer Funktion dritten Grades kann nicht konstant sein.

Und wirklich:

( - 1/2 x² + 1/2)' = - 2 * (1/2) x = - x

f ''(-1) = 1 > 0 => lok. Minimum

f ''( 1) = - 1 < 0 => lok. Maximum.

Wenn Du jetzt die Funktionswerte in x = - 1 und x = 1 bildest, hast Du auch die Begründung dafür, dass es wirklich nur eine Nullstelle gibt:

Selbst das lokale Maximum ist noch negativ, es geht also nicht noch einmal durch die x-Achse nach oben.

Wenn du die 2. Ableitung auf Nullstellen untersuchst, findest Du genau eine solche Stelle. Berechne den zugehörigen Funktionswert und du hast den Wendepunkt.

Bezüglich dieses Punktes ist der Graph dann auch punktsymmetrisch.

Nun kannst Du ihn zeichnen.

Sollte nicht alles klar sein, schreibe bitte!

Ich sehe in einer guten Stunde noch mal ins Netz.

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