Mathe absolut keine Idee?

Question

Gegeben ist der Graph K der natürlichen Exponentialfunktion f mit f(x) = e^x. In einem Punkt P(a | f(a)) wird die Tangente an K gelegt. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes Q dieser Tangente mit der X-achse. Vergleichen Sie die X-werte der Punkte P und Q.
Wie kann man also in einem gegebenen Punkt die Tangente an K konstruieren?

Ich hab wirklich keine Ahnung was ich machen soll :(
Könnt ihr mir bitte helfen und mir das erklären ? Danke.

Melishe · Accepted Answer

Der Punkt P hat die Koordinaten P(a/e^a). Jede Tangente ist eine Gerade der Form y = mx + t, wobei m die Steigung ist und t der Achsenabschnitt. Es gilt, dass die Steigung an einem Punkt genau gleich groß ist wie die erste Ableitung in diesem Punkt, für die spezielle Funktion gilt: f ' (x) = e^x, also im Punkt P: m = f '(a) = e^a und das kann man einsetzen:
e^a = e^a * a + t, das heißt aber, dass t = e^a - e^a * a oder t = e^a *(1 - a), die Tangente hat also die Gleichung:
y = e^a * x + e^a (1 - a)
Die Nullstelle dieser Funktion genügt der Gleichung: 0 = e^a *x + e^a *(1 - a), also kann man hier e^a ausklammern, dann hat man: 0 = e^a *(x + 1 - a), da e^a sicher ungleich 0 ist, gilt: x = a - 1
Die x-Werte vergleichen sich also so, dass man einerseits a hat, andererseits a - 1

Mathe absolut keine Idee?

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