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Haushaltsoptimierungsproblem Mathe?
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: Die Nutzenfunktion eines Haushalts ist c1^(2/3) x c2(1/3). Die Nebenbedingung ist y=c1 + c2/(1+r). y und r sind gegeben. Ich mache einen Lagrange- Ansatz, bekomme aber nur einen quadratischen Term, den ich mit der quadr. Lösungsformel zu lösen versuche. Für y=150 und r=0.2 bekomme ich allerdings c1=3,3, was ja nicht stimmen kann.
Ich weiss dass hier nicht meine Hausaufgabenhilfe ist, aber vielleicht kann mir jemand einen Denkanstoss geben?
Entschuldigung, die Nutzenfunktion ist c1^(2/3) x c2^(1/3) und nicht wie oben.
1 Antwort
- TomLv 7vor 1 JahrzehntBeste Antwort
Ich schreibe mal x und y anstelle von c1 und c2.
Die Lagrangefunktion lautet dann:
L(x;y;λ) = x^(2/3)*y^(1/3) + λ(x+(5/6)y-150) ---> Max
∂L
---- = (2/3)x^(-1/3)*y^(1/3) + λ = 0 (*)
∂x
∂L
---- = (1/3)x^(2/3)*y^(-2/3) + (5/6)λ = 0 (**)
∂y
∂L
---- = x + (5/6)y - 150 = 0 (***)
∂λ
------------------------------------------------------
(*) nach λ auflösen
=> λ = -(2/3)x^(-1/3)*y^(1/3) (°)
in (**) einsetzen
=> (1/3)x^(2/3)*y^(-2/3) - (5/6)*(2/3)*x^(-1/3)*y^(1/3) = 0
umgeschreiben
(1/3)*∛[(x/y)²] - (5/9)*∛[y/x] = 0
Substitution z := ∛(x/y)
=> (1/3)*z² - (5/9)*(1/z) = 0 /*3z
=> z³ - (5/3) = 0
=> z = ∛(5/3)
Rücksubstitution
=> ∛(x/y) = ∛(5/3)
<=> x/y = 5/3
=> x = (5/3)y (°°)
Einsetzen in (***)
=> (5/3)y + (5/6)y - 150 = 0
=> (5/2)y = 150
=> y* = 60
=========
Mit (°°) folgt
x* = 100
=======
Für λ ergibt sich aus (°) noch
λ = (-2/3)*∛(3/5)
Der maximale Funktionswert ist dann
z* = ∛(100²)*∛(60) = ∛600000 ≈ 84,34
===============================
