Die Ableitung der Potenzfunktion?

Hallo,

Zuerst brauchen wir die Ableitung f'(x) = 3x². Es ist nach der Tangente T im Punkt (xb,xb³) gefragt. Diese lässt sich durch eine Geradengleichung beschreiben:

T(x) = mx+n

m kennen wir bereits, denn die erste Ableitung liefert einem ja gerade den Anstieg der Tangente, also ist m = f'(xb) = 3xb². Nun wissen wir weiter, dass diese Tangente durch den Punkt (xb,xb³) verlaufen soll, also muss T(xb)=xb³ gelten. Es ist dann also

xb³ = 3xb² * xb + n = 3xb³ + n

Wir erhalten also n = -2xb³. Nun soll rausgefunden werden wo die Tangente T den Graphen K schneidet. Hier kann man sich nun über die Aufgabenstellung streiten, denn mit (xb,xb³) ist ja bereits ein Punkt bekannt den T und K gemeinsam haben (dies ist sogar ein Berührungspunkt). Wir wollen hier jetzt den ECHTEN Schnittpunkt P finden, also den Schnittpunkt, der nicht gleichzeitig ein

Berührungspunkt ist. Dies erreicht man, in dem man ein x findet, das f(x) = T(x) erfüllt, also

x³ = 3xb² - 2xb³ <=> 0 = x³ - 3xb²*x + 2xb³

Was auf den ersten Blick wie eine Nullstellenberechnung eines Polynoms 3. Grades aussieht (böse!) ist gar nicht so tragisch, denn eine Nullstelle kennen wir bereits: xb. Polynomdivision liefert eine Zerlegung

x³ - 3xb²*x + 2xb³ = (x-xb) * (x²+xb*x-2xb²)

und wir müssen bei der weiteren Nullstellensuche nur noch den zweiten Faktor untersuchen. Der hat nun wieder xb als Nullstelle (das hängt damit zusammen, dass bei xb ein Berührungspunkt von T und K vorliegt) und wir können weiter zerlegen:

x³ - 3xb²*x + 2xb³ = (x-xb) * (x-xb) * (x+2xb)

Nun lässt sich die dritte (und die eigentlich interessante) Nullstelle ablesen: x = -2xb. Es ist also f(-2xb) = T(-2xb). Damit ist nun auch P gefunden, nämlich P = (-2xb, -8xb³).

Ist f(xb) element von k?