Auf gleichen Wurzelexponenten bringen?

³√4 * √8 = 4^(1/3)*8^(1/2) =

(2^2)^(1/3)*(2^3)^(1/2) =

2^(2*(1/3))*2^(3*(1/2)) =

2^(2/3)*2^(3/2) =

2^((2/3)+(3/2)) =

2^((4/6)+(9/6)) =

2^(13/6) =

(6√)(2^13) = (6√ soll 6te Wurzel bedeuten)

4*(6√)2 also 4 mal 6te Wurzel aus 2

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"Um diese aufgabe zu lösen müssen die wurzeln den gleichen Exponenten haben" - das stimmt nicht so ganz...

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie man eine solche Multiplikation zusammenfassen kann:

1. Auf gleiche Exponenten bringen, wie du schon sagst, dann gilt:

a^n * b^n = (ab)^n

oder

2. Auf gleiche Basis bringen. Dann gilt:

a^m * a^n = a^(m+n)

Hier drängt sich die 2. Möglichkeit geradezu auf, weil wir es mit 4 und 8 ja mit 2² bzw. 2³ zu tun haben. Diese Möglichkeit haben dir die anderen schon vorgerechnet:

∛4 * √8 =

2^(2/3) * 2^(3/2) =

2^(2/3 + 3/2) =

2^(13/6) = 4 * 2^(1/6)

Man kann aber auch durchaus die 1. Möglichkeit anwenden. Hierzu musst du den Hauptnenner der Exponenten 1/3 und 1/2 finden*. Das wäre dann 1/6.

Also kannst du den Term so umformen:

∛4 * √8 =

4^(2/6) * 8^(3/6) =

16^(1/6) * 512^(1/6) =

8.192^(1/6)

Nun ist 8.192 aber nichts anderes als 2^13 und damit geht der Term in weiteren Umformungen in schon von weiter oben bekannte Formen über:

8.192^(1/6) =

2^(13/6) = 4 * 2^(1/6)

Gruß,

Zac

* ich gehe hier davon aus, dass dir klar ist, dass eine Quadratwurzel dasselbe ist wie ein Exponent 1/2 und eine Kubikwurzel dasselbe wie ein Exponent 1/3

4=2²

8=2³

Obiges mit gebrochenen Exponenten

4^(1/3)= 2^(2*1/3) = 2^(2/3)

8^(1/2)=2^(3*1/2) = 2^(3/2)

4^(1/3)*8^(1/2)= 2^(3/2)*2^(2/3) = 2^(3/2+2/3)=2^ (13/6) = 2²*2^(1/6)