Frage zu einer Matheaufgabe (trigonometrische Funktionen)?

Question

Hallo,

ich versteh folgende Matheaufgabe leider nicht.. vielleicht könnten ihr mir die erklären? Wäre unglaublich toll, da ich bald dazu Klausur schreibe.

Und zwar: 
Der Graph der Funktion f(x)=2,5 * cos (x²/2pi) beschreibt über dem durch die Nullstellen -xn und +xn begrenzten Intervall [-xn; +xn] einen Fensterbogen.
a) Wie breit ist der Bogen?
b) Wie hoch ist der Bogen?
c) Welchen Winkel alpha schließt der Bogen am Fuß des Bogens mit der Horizontalen ein?

Gegeben ist noch eine kleine Skizze, wo einfach nur ein Bogen zu sehen ist. Wo der Bogen auftritt auf die x-Achse ist einmal der Punkt -xn und einmal der Punkt +xn. Bei -xn ist auch noch ein Winkel eingezeichnet.

Wäre super, wenn ihr mir das erklären könntet.. Ich steh da voll aufm Schlauch..

Danke im Voraus!!

Wurzelgnom · Accepted Answer

Okay, zuerst ermitteln wir die Nullstellen der Funktion:
Es gilt für xN:
0 = 2,5 * cos (xN²/2п) | : 2,5
0 = cos (xN² / 2п)

xN²/2п = arc cos 0

Der Kosinus von п/2 ist 0, also ist
arc cos 0 = п/2, also

xN² / 2п = п/2 =>
xN² = п²
xN1 = - п
xN2 = + п

Also hat das Fenster eine Breite von 2п 

Die Höhe des Fensters ist der Funktionswert in der Mitte, also f(0) = 2,5 * cos (0 / 2п)
Das ist 2,5 * cos 0 = 2,5 * 1 = 2,5

Hier das Bild des Fensters im Koordinatensystem:
 http://www.bilder-hochladen.net/files/9aqw-6d-jpg-nb.html  


(Ich vermute, dass alle Angaben in Meter gemeint sind.
Also ist das Fenster ca. 6,28 m breit und 2,5 m hoch.

In c ist die erste Ableitung in - п gesucht. Das ist der Tangens des gesuchten Winkels.

f(x) = 2,5 * cos (x²/2п)

f '(x) = 2,5 * [ - sin (x²/2п) * x / п] = - 2,5x / п * sin (x²/2п)

f '(- п) = 2,52 * sin (п/2) = 2,52

tan α = 2,52
 α = 68,36°

Judy · Answer

Du musst das  nur in die Ã¼blichen mathematischen Formulierungen Ã¼bersetzen:
a) Breite des Bogens: da, wo der Bogen die x-Achse berÃ¼hrt sind die Nullstellen +-xn.
Also rechnest du die Nullstellen aus ( f(x) = 0 setzen und nach x auflÃ¶sen).
Die Breite des Bogens ist dann einfach der Abstand zwischen -xn und + xn.
b) HÃ¶he des Bogens:
das ist das Maximum der Funktion (also wie Ã¼blich 1. Ableitung = 0 setzen....)
c) Steigung m an den Stellen xn ausrechnen (m = f '(-xn))  und daraus den Steigungs-Winkel Î±
(Steigung m = tan Î±)

Frage zu einer Matheaufgabe (trigonometrische Funktionen)?

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