Fragen zu Mathe (Themen: trigonometrische Funktionen, Produktregel, Kettenregel)?

Question

Hallo,

ich schreib am Dienstag Matheklausur..und versteh leider einige Aufgaben nicht und hoffe, ihr könnt mir da vielleicht weiterhelfen, wenn auch nur bei manchen.

Also, ich habe hier so eine Aufgabe, da steht f(x)= x * sin(x) und man soll den Wert der ersten und zweiten Ableitung an den Stellen x=0 und x=2,02875 angeben. Ich weiß nur nicht, wie ich das machen soll.. also die erste und zweite Ableitung habe ich schon.. aber was ist denn gemeint mit an den Stellen x = 0 und x = 2,02875? Muss ich das einfach in x einsetzen? Oder wie?

Dann meine zweite Frage ist, wie errechnet man einen Hoch- und einen Tiefpunkt?
Aufgabenstellung hierbei ist folgende: Geben Sie - unter Berücksichtigung der Resultate von Aufgabe d (ist die Aufgabe die hier vor steht) - einen Tiefpunkt und - näherungsweise einen Hochpunkt von f(x) über dem Intervall [0;pi] an.

3.) Was bedeutet das allgemein immer mit Intervall? Wie muss man das einsetzen?
Z.B. bei dieser Aufgabe: Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f(x)= x*sin(X) über dem Intervall [0;pi].
Normalerweise müsste man die Funktion doch mit 0 gleichsetzen, oder? Aber wie mach ich das mit dem angegeben Intervall?

Und als letztes: Wie soll man denn den Winkel, den die Tangente an den Funktionsgraphen an der Stellen x = pi mit der x-Achse einschließt, bestimmen?

Wäre echt super, wenn ihr mir irgendwie helfen könntet.. Wenn auch nur einzelne Aufgaben!!
Wäre echt toll .)

Danke im Voraus <3

Wurzelgnom · Accepted Answer

Die Zahlen sind gar nicht so "bescheuert" wie GB meint.
Euer Lehrer will Euch offensichtlich ganz behutsam an die Problematik der Extremstellen heranführen.
Das erkennst Du, wenn Du den Graph der Funktion betrachtest:
 http://www.bilder-hochladen.net/files/9aqw-6e-jpg-nb.html  


f(x) = x*sin x
f '(x) = x* cos x + sin x 

cos(2,02875) = - 0.442113563	
Also: 2,02875 cos(2,02875) = - 0.89693789	
und sin(2,02875) = 0.896959084
Also ist f '(2,02875) = 2,02875*cos(2,02875) + sin(2,02875) rd. 0
Ihr sollt ja offensichtlich erkennen, dass in beiden Stellen die 1. Ableitung gleich 0 ist.
Aber die 2. Ableitung ist von 0 verschieden.
Nämlich negativ, wenn es ein Maximum ist, und positiv, wenn es ein Minimum ist.

gummibärchen · Answer

>  f(x)= x * sin(x) 
>  man soll den Wert der ersten und zweiten 
> Ableitung an den Stellen x=0 und x=2,02875 angeben
> Muss ich das einfach in x einsetzen?

Ja, einfach fÃ¼r x eben 0 oder 2,02875 (Welcher lehrer hat so bescheuerte Zahlen?) einsetzen.

> wie errechnet man einen Hoch- und einen Tiefpunkt?
Hoch- oder Tiefpunkte (auch lokale Extrema genannt) sind Stellen, an denen die Funktion in der ersten Ableitung gleich 0 ist und in der zweiten ungleich 0 ist. Ist die 2. Ableitung grÃ¶Ãer 0. dann ein Minimum, ist sie kleiner 0 ein Maximum. 
Du nimmst dir also die  erste Ableitung und setzt die =0.
Nullstellen ausrechen, dann hast du mÃ¶gliche(!) Extrema.

Diese Werte in die  2. Ableitung einsetzen.
Ist dann der Wert der 2. Abl. > 0 hast du ein Minimum
Ist dann der Wert der 2. Abl. < 0 hast du ein Maximum

> 3.) Was bedeutet das allgemein immer mit Intervall? Wie muss man das einsetzen?
Du untersuchst nur x-Werte die INNERHALB dieses Intervalls liegen. 

> Wie soll man denn den Winkel, den die Tangente an den 
> Funktionsgraphen an der Stellen x = pi mit der x-Achse einschlieÃt, bestimmen?

Erste Ableitung bei ausrechnen, fÃ¼r x π einsetzen. Das ist der tangens des eingeschlossenen Winkels.
Umkehrfunktion arctan bemÃ¼hen, dann hast du den Winkel in Grad oder BogenmaÃ, je nachdem wie dein Rechner eingestellt ist.

GB

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