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Extremwertaufgaben bitte helfen!?
Halloo.. Ich habe eine Mathehausaufgabe auf die ich nicht verstehe, mein Lehrer konnte uns letzte Stunde auch selbst keinen Ansatz geben.
Darum dachte ich mir, hier kann mir bestimmt ein kluges Köpfchen helfen & mir das bestimmt auch noch Schritt für Schritt erklären ;)
Die Kostenfunktion eines Betriebes gibt die Produktionskosten K(x) in Abhängigkeit von der produzierten Menge x an. Es sei K(x)=0,01x³ - 3x² + 320x + 8000. Eine Mengeneinheit wird für 355euro verkauft.
a) Bei welchen produktionszahlen macht die Firma gewinn?
b) Für welchen Wert ist der Gewinn maximal?
Danke schonmal :)
2 Antworten
- vor 1 JahrzehntBeste Antwort
als erstes stellst du eine umsatzfunktion auf:
U(x)= 355x
dann eine gewinnf.:
G(x)=U(x)-K(x)
= -0.01x^3-3x^2+35x-8000
dann berechnetst du die nullstellen:
G(x)=0 (hab ich jetzt mit dem taschenrechner gemacht)
x1=-52
x2=50
x3=302.82 (gerundet)
setze werte zwischen diesen in G(X) ein und guck ob das ergebniss positiv ist.
zb G(3)=-7868.27 (gerundet)
G(100)=15500
G(305)= -(7905/4)
du erhälst einen gewinnbereich von
50<x<302.83
für b berechnest du die extremstellen. dafür brauchst du die beiden ersten ableitungen
G'(x)=-0.03x^2+6x+35
G''(x)=-0.06x+6
notwendige bedingung:
G'(x)=0
(taschenrechner nullstellenbestimmung)
x= 205.6724499
heinreichende bedingung:
G'(x)=0 ^ G''(x)ungleich0
G''(205.6724499)= (einsetzen) -6.34 (gerundet) --> maximum
y-wert ausrechnen
G(205.6724499)= 39211.26790
Quelle(n): mein gehirn nach fast einem quartal mathe-LK, nachdem ich in der 11 weg war - gummibärchenLv 6vor 1 Jahrzehnt
> K(x)=0,01x³ - 3x² + 320x + 8000
> a) Bei welchen produktionszahlen macht die Firma gewinn?
Gewinn macht die Firma, wenn der Erlös gröÃer als die Kosten sind:
x*355>0,01x³ - 3x² + 320x + 8000
Du musst das x finden, für das diese Ungleichung gilt.
Dazu behandelst du die Ungleichung wie eine Gleichung, nur wenn du mit negativen Zahlen multiplizieren solltest, dreht sich das > Zeichen um.
x*355>0,01x³ - 3x² + 320x + 8000 | -355x
0>0,01x³ - 3x² -35x+8000
Eine Nullstelle hast du bei x=50 und eine bei x=302. Das kannst du aber nur mit einem Solver im TR ermitteln.
Also ab 50 bis 302 Produkte macht die Firma Gewinn.
> b) Für welchen Wert ist der Gewinn maximal?
Du brauchst nur x>50 zu untersuchen, da bei kleineren x kein Gewinn gemacht wird.
f(x)=0,01x³ - 3x² -35x+8000
f ' (x) = 0,03x² -6x -35
Gleich 0 setzen:
0=0,03x² -6x -35 | :0,03 oder *100/3
0=x²-200x-35
p/q Formel
x½=100±â(100²+35)
x½=100±â(10035)
x½=100±100
x1=0
x2=200
x1=0 ist nicht im zu untersuchenden Bereich, da der ja nur x>50 umfasste, also ist x=200 die Lösung.
GB
